一道高考題的多種解法

肖運彭　夏小剛

【摘要】高考題注重對學生數學思維的考察，在一道題中往往涉及多種數學思想方法，而這些數學思想方法對提高學生的創新能力，開發學生的智力具有極大的促進作用.對選拔出合格優秀的學生具有重要的參考價值.因此，無論老師還是學生，都應關注高考題，特別是能夠體現出多種數學思維的高考題.本文就以2014年新課標全國卷2理科數學選修坐標系與參數方程為例，探討該題的多種解法及思想.

【關鍵詞】新課標；坐標系；參數；垂直

（2014年新課標全國卷2理數）選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ，θ∈0，π2.

（Ⅰ）求C的參數方程；

（Ⅱ）設點D在C上，C在D處的切線與直線l：y=3x+2垂直，根據（Ⅰ）中得到的參數方程，確定D的坐標.

法一：利用斜率的定義直接得出角度值

（Ⅰ）解：由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρ·cosθ.

∴x2+y2=2x（x-1）2+y2=1.

∴C的參數方程為x=1+cosα，y=sinα（其中α為參數，α∈[0，π]）.

（Ⅱ）解：由題可知直線CD的斜率與直線l斜率相等，

即：kCD=kl.∴sinα-01+cosα-1=3，解得α=π3，

∴D點坐標為D32，32.

法二：（1）C的普通方程為（x-1）2+y2=1（0≤y≤1）

可得C的參數方程為

x=1+cost，y=sint（t為參數，0≤t≤π）.

（1）設D（1+cost，sint）.由（1）知C是以G（1，0）為圓心，1為半徑的上半圓.

因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同.

tant=3，t=π3.故點D的坐標是1+cosπ3，sinπ3，即D32，32.

法三：利用點到直線的距離公式

（Ⅰ）解：由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρ·cosθ.

∴x2+y2=2x（x-1）2+y2=1.

∴C的參數方程為x=1+cosα，y=sinα（其中α為參數，α∈[0，π]）.

（2）如圖所示，

O′CB為矩形，O′C=BD，O′C=2+32.

所以BD=sint-3（cost+1）-21+3=2sin（t-π3）-3-22.

所以sin（t-π3）=0t=π3所以點D32，32.

法四：直接利用圖形

（1）C的普通方程為

（x-1）2+y2=1（0≤y≤1）.

可得C的參數方程為：

x=1+cost，y=sint（t為參數，0≤t≤π）.

（2）如圖所示可直接得出D32，32.

法五：利用直線的斜截式方程與方程組思想

（1）C的普通方程為

（x-1）2+y2=1（0≤y≤1）.

可得C的參數方程為：

x=1+cost，y=sint（t為參數，0≤t≤π）.

（2）設過D點的切線方程為y=-33x+b.

由圓心（1，0）到切線的距離33-b332+1=1，

解得b=-33（舍）或b=3.

所以x-12+y2=1，y=-33x+3.解得D32，32 .

通過上述解法我們不難發現，高考題涉及諸多思想方法，學生完全可以根據自己的知識進行有效的選擇.作為老師，在日常的教學工作中，也應該重視對一題多解的探討，這更有助于對學生發散思維，創新能力的培養.