從一則課堂教學案例看探究性教學

陳啟海

探究性教學中，學生探究的過程就是創新的過程，在這個過程中，知識與能力的獲得主要不是依靠教師的灌輸與培養，而是在教師的指導下由學生主動探索，主動思考，親身體驗出來的.

案例 等比數列前n項和

在等比數列前n項和公式探究中，我設計了以下三個層層遞進的問題：

（1）求數列1，2，22，23，……的前n項和；

（2）求數列1，q，q2，q3，……的前n項和；

（3）求等比數列a1，a2，a3，……的前n項和.

學生在問題的引導下，通過動手實踐，自主探究與合作交流，經過觀察、類比、歸納等活動去探究新知：

師：觀察數列（1）項與項之間的關系，你能得到什么啟發？

生A：設數列（1）前n項和為Sn，則Sn=1+2+22+…+2n①，

2Sn=2+22+23+…2n+1②.

由②-①，得Sn=2n+1-1，（n∈N*）.

師：n=1時，a1成立嗎？

生B：A的結論不正確，數列（1）的第n項不是2n ，而是2n-1，即Sn=1+2+22+…2n-1，用同樣的方法可得Sn=2n-1，（n∈N*）.

師：你們怎么想到兩邊同乘以2后可求Sn？

生A：觀察這個數列的每一項，后面一項都是前面一項的2倍，乘以2后①②兩個等式有n-1項相同，相減可消去得Sn=2n-1.

師：A同學非常善于觀察，發現規律，B同學具有敏銳的洞察力，兩人合作，今后一定能成大業.

（同學們贊許地笑了）

師：哪名同學總結一下，什么數列可以用這種方法求和，以及求和時應注意哪些問題？

生C：等比數列求和時應注意數列的通項和項數.

師：很好，數列的通項是數列求和的前提條件，下面我們再來探究數列（2）.

生D：數列（2）和（1）類似，是公比為q的等比數列，用同樣方法可求Sn=1-qn1-q.

生E：D同學結論在q≠1時成立，若q=1，則是常數列Sn=n，故 Sn=n，q=11-qn1-q，q≠1

同學們都很滿意地點了點頭，問題得到解決.

師：D同學說數列（2）是以q為公比的等比數列對嗎？

生F：q≠0時是等比數列.（生E會心地笑了，也為剛才冒失地回答感到不好意思）

師：請同學們想一下，若數列通項是字母表示的應注意哪些問題？

生G：如果是等比數列，要討論公比q=1和q≠1的情形，如果不是等比數列，還要考慮字母取0的情形.

師：下面再來探究數列（3）的求和，并請同學上黑板展示求和過程.

生H：設等比數列a1，a2，…，an，……的前n項和為Sn，則Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1（1+q+q2+…+qn-1）.

由數列（2）知：當q=1時，Sn=na1；當q≠1時，Sn=a11-qn1-q.

師：H同學借助數列（2）的結論得到等比數列的前n項和公式，那完整的推導怎么寫？

生I：設等比數列a1，a2，…，an前n項和為Sn，則

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.①

兩邊乘以q，得qSn=a1q+a1q2+…+a2q3+a1qn-1+a1qn.②

由①-②，得（1-q）Sn=a1-a1·qn.

若q=1，則Sn=na1；若q≠1，則Sn=a1（1-qn）1-q.

故Sn=na1，（q=1），a1（1-qn）1-q，（q≠1）.

師：I同學非常嚴謹、準確地推導了等比數列的前n項和公式，并對相同的n-1項作了標注，我們給這樣求和的方法起個名字叫錯位相減法或錯位相消法.

師：同學們還有其他推導方法嗎？（q≠1情形）

同學們紛紛議論，上課情緒高漲，過了一會兒，有三名同學給出了他們不同的推導方法.（在此不再贅述）

學生在問題的引導下，自主探究，發現新知，這有利于啟迪學生的思維，突破教學的重難點.教師要充分利用教材上的“思考”“探究”等素材，引導學生進行相關的教學活動.