探析高等代數與解析幾何之合并設課

程新珠　劉莉

【摘要】隨著現代數學的發展，高等代數與解析幾何這兩門學科相互融合已成必然.同時，由于現代教育技術的發展影響了人們的觀念，原有教材內容已不能適應現代數學理論的發展，課程和教材的改革，相應的教學方法和手段也得到不斷的認識和改進，因此，對高等代數與解析幾何這兩門數學基礎課程進行課程內容與體系的整合已成為可能.

【關鍵詞】高等代數；解析幾何；合并設課

中央廣播電視大學本科數學專業開設的課程中，有《高等代數專題研究》和《幾何基礎》這兩門學科.從內容編排上來看，高等代數包括代數運算與數學歸納法、多項式理論、線性空間、線性變換、歐幾里得空間、雙線性函數和二次型.編者在前言中說：“二次型理論部分，編寫了二次曲線的化簡，力求給讀者一個清晰的數學分類的思想及高等代數在幾何方面應用的范例.”而《幾何基礎》中編排了向量及其運算、向量運算的代數表達形式、射影幾何、二次曲線等.編者說“學習本書所需的基礎知識是數學分析、高等代數，特別是解析幾何.”由此看出，這兩門課程關系密不可分，且部分內容重疊.由于現代教育技術的發展影響了人們的觀念，原有教材內容已不能適應現代數學理論的發展，課程和教材的改革，相應的教學方法和手段也得到不斷的認識和改進，因此，對高等代數與解析幾何這兩門數學基礎課程進行課程內容與體系的整合已成為可能.隨著現代科學技術的迅猛發展，課程改革作為教育改革的核心環節和教育改革深化的標志，在世界范圍內得到廣泛的關注和前所未有的重視.高等代數與解析幾何作為傳統“三基”模式下的二門課程，關系非常密切，幾何與代數互為問題、互為方法、互相交融，因而對其進行合理的整合不僅必要而且切實可行.作者通過探討高等代數與解析幾何合并教學以后教學內容的相互協調性、教學手段的合理性，從而說明高等代數與解析幾何這兩門學科相互融合已成必然.

一、高等代數與解析幾何的內容及相互關系

線性代數是高等代數的主要內容，具有深刻的幾何背景.而解析幾何則是用代數方法研究空間的幾何問題.因此把高等代數與解析幾何合并成一門課具有其內在的合理性.總的來說，解析幾何是以高等代數為主要研究工具的幾何學，沒有高等代數這個主要工具，就沒有解析幾何，而解析幾何又反過來為高等代數提供了幾何背景、解釋和研究課題，促進代數的發展，因此，把它們結合起來作為統一的課程是有必要的，也是十分有益的.

從代數與幾何的發展來看，高等代數與解析幾何從來就是相互聯系、相互促進的.它們的關系可以歸納為“代數為幾何提供研究方法，幾何為代數提供直觀背景”.前一句話是明顯的事實，代數的發展確實可以幫助解決許多幾何問題，而后一句話更重要，甚至可以改為“代數要在幾何中尋找直觀”，以強調幾何對代數發展的促進作用.有很多具體的實例支持這個觀點.從內容的聯系來看，兩門課之間存在著工具與對象的聯系.解析幾何中以代數為工具，解析幾何中的很多概念、方法都是應用線性代數的知識、定義來刻畫、描述和表達的.例如，解析幾何中的向量的共線、共面的充分必要條件就是用線性運算的線性相關來刻畫的，最終轉化為用行列式工具來表述；又如，解析幾何中向量的外積（即向量積）、混合積也是行列式工具來表示的典型事例.高等代數中的許多知識點的引入、敘述和刻畫亦用到解析幾何的概念或定義.例如線性空間的概念表述就是以解析幾何的二維、三維幾何空間為實例模型.從概念的內涵和外延來看，兩門課之間存在著特殊與一般的關系，解析幾何的一、二、三維空間是線性代數n維空間的特例，而線性空間的大量理論又是來源于一、二、三維幾何空間的推廣（抽象）.由此看出兩課合并有利于“數”與“形”的結合.從數學思想方法來看，兩門課具有統一性.

二、高等代數與解析幾何一體化教學內容的協調

高等代數的教學內容主要有：多項式、行列式、線性方程組、矩陣、線性空間、線性變換、歐式空間、二次型.解析幾何主要研究二維實空間中的直線與二次曲線、三維實空間中的平面與二次曲面、空間曲線和空間曲面的位置關系、平移變換和旋轉變換.由此可以看出，兩門課程的內容重復之處較多，而這種重復基本上是一般與特殊的關系.因此從學生的認知角度來看，兩門課程合并能讓學生在具體的幾何背景下更直觀地接受數學思想與方法，能充分地發揮兩門課內容的互補作用，符合“數”與“形”結合的認知規律，幾何學的討論給代數學提出了相關問題，而代數學研究的結果又可應用到幾何學中去，它們互為問題、互為方法、相互交融，在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助幾何設計等技術都以幾何與線性代數為其理論基礎，幾何問題的代數化處理、代數問題的可視化處理，代數與幾何更顯得相互滲透、密不可分.根據高等代數與解析幾何的密切關系，首先應介紹代數方法，然后用它去解決一些問題，最后用代數方法討論一般的幾何問題，這樣既可以輕松地完成解決幾何的教學和學習，同時學生也體會了代數的妙處，加深了對代數的理解.

三、合并設課符合基礎教育改革的發展要求

隨著高等教育改革步伐的加大和加快，對人才的培養越來越強調應用性和綜合素質的提高，讓學生掌握系統的基礎理論知識，必然要進行教學改革.數學教師的綜合素質與新課程實施的嚴重不適應已經成為當前基礎教育改革的主要問題，也是數學教育改革成敗的關鍵問題.如何改革高校數學教育專業的課程設置，轉變培養模式來提高師生綜合素質已迫在眉睫.一方面，從中學數學基礎教育改革的理念“體現有價值的數學，現實生活中的數學，以及改革數學教師教學方式與學生學習方式”來看，對教師數學知識的要求也與過去發生了很大的變化，更強調對數學思想、數學研究方法的理解，更注重對數學公式、定理、概念來龍去脈的推理.高等代數與解析幾何兩門課程的結合無論從內容上還是從方法上都順應這種要求；另一方面從數學教師專業化的要求來看，教師專業的特殊能力之一是教學技能的訓練與培養.據有關專家認為可將教材教法、微格教學、計算機輔助教學融為一門課，以適應現代教育教學的要求.由于高等代數是一門抽象性很強的課程，而解析幾何卻非常直觀，那么就可以充分利用此特點借助計算機多媒體教學以展示兩者的融合，這樣，既可以提高教學效益，又能充分體現學生由被動學習轉變為主動學習的教學新理念.

四、合并設課的嘗試

武漢理工大學于2000年開始招收信息與計算專業學生.該專業是數學學科的一個方向，基礎課有數學分析、高等代數與解析幾何.這是該校第一次將高等代數與解析幾何合為一門課程，經認真研討后，制訂了教學大綱并選定孟道驥《高等代數與幾何》作為教材，并確立了課堂講授的幾個準則：一是注意與實際應用相結合；二是解析幾何內容可作適當補充并部分提前講授；三是要講思想精髓，對教材內容要作取舍.這些準則，從以后的教學實踐看，奠定了講好該課程的基礎.

經過高等代數與解析幾何合并為一門課的教學實踐，教者的體會是：第一，教師要樹立教書育人的思想，幫助介紹一些數學與其他學科的聯系，說明打好數學基礎是將來發展的前提，幫助學生樹立正確的學習心態.第二，不能單純講解數學理論，要介紹理論的來源和用途.講授方程組解法時，可舉例說明投入產出方法，可結合數學軟件讓學生在計算機上繪制二次曲面的圖形，效果逼真又節省課堂時間.第三，要注意因材施教.對學有余力的學生，指定一些參考書讓其課外閱讀，補充教材和講授的不足.對基礎較差的學生，通過個別輔導答疑，讓其達到基本要求不致掉隊.

五、高等代數與解析幾何的未來展望

高等代數與解析幾何兩課合一，這是歷史的必然.但兩者合并并不是機械地編湊在一起，重要的是從邏輯系統、理論高度妥善處理好它們之間的關系.從數學發展史上看，代數與幾何關系已密不可分，相互依賴；從本質上看，解析幾何中的二次曲線、二次曲面的分類與線性代數中的二次型的分類說的是一回事.高等代數與解析幾何是數學專業的基礎課程，隨著計算機多媒體的普及，高等代數與解析幾何的教學必須得到加強.它們的關系密切且部分內容重疊，因此將兩門課程合起來，不僅可節省時間，也可使它們互為補充，從而形成統一的整體.

總之，高等代數與解析幾何是不可分割的，把高等代數與解析幾何結合起來作為統一的課程是有必要的，也是十分有益的.這是一項系統工程，應有一個宏觀設想.而作為一個新生事物，要真正做到兩門課程水乳交融、融會貫通，使其形成一個有機的整體，還需要一個過程，需要不斷積累經驗.讓我們大家努力做好，使我國早日成為世界數學大國.

【參考文獻】

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