初中數(shù)學(xué)的對(duì)稱美與應(yīng)用

張延杰

摘 要：對(duì)稱，物體或圖形在某種變換條件（例如繞直線的旋轉(zhuǎn)、對(duì)于平面的反映，等等）下，其相同部分間有規(guī)律重復(fù)的現(xiàn)象，亦即在一定變換條件下的不變現(xiàn)象。在初中數(shù)學(xué)的幾何知識(shí)中，主要有軸對(duì)稱與中心對(duì)稱，如果運(yùn)用得好，解題有事半功倍的效果。像窗花一樣，把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，稱這兩個(gè)圖形軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；對(duì)稱美；教育

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）07-386-02

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸。

在幾何證題、解題時(shí)，如果是軸對(duì)稱圖形，則經(jīng)常要添設(shè)對(duì)稱軸以便充分利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì).譬如，等腰三角形經(jīng)常添設(shè)頂角平分線；矩形和等腰梯形問題經(jīng)常添設(shè)對(duì)邊中點(diǎn)連線和兩底中點(diǎn)連線；正方形，菱形問題經(jīng)常添設(shè)對(duì)角線等等.

一、軸對(duì)稱

像窗花一樣，把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，稱這兩個(gè)圖形軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)。

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸。

在幾何證題、解題時(shí)，如果是軸對(duì)稱圖形，則經(jīng)常要添設(shè)對(duì)稱軸以便充分利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì).譬如，等腰三角形經(jīng)常添設(shè)頂角平分線；矩形和等腰梯形問題經(jīng)常添設(shè)對(duì)邊中點(diǎn)連線和兩底中點(diǎn)連線；正方形，菱形問題經(jīng)常添設(shè)對(duì)角線等等.

另外，如果遇到的圖形不是軸對(duì)稱圖形，則常選擇某直線為對(duì)稱軸，補(bǔ)添為軸對(duì)稱圖形，或?qū)⑤S一側(cè)的圖形通過翻折反射到另一側(cè)，以實(shí)現(xiàn)條件的相對(duì)集中.

例1，要在河邊l修建一個(gè)水泵站，分別向A、B兩村送水，水泵站應(yīng)修建在河邊的什么地方，可使所用的水管最短？

分析：要解決這個(gè)問題，找出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn) ，連結(jié) 交直線 于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是到A、B兩村莊的距離之和最短的點(diǎn)的位置。

由此可見，軸對(duì)稱幫我們找到了符合要求的點(diǎn)的位置。

該問題的解決為我們提供了一種解題的思路和線索，觸類旁通。

例2、實(shí)驗(yàn)探究：

下面設(shè)想用電腦模擬臺(tái)球游戲，為簡(jiǎn)單起見，約定：

①每個(gè)球或球袋都視為一點(diǎn)，如不遇障礙，各球均沿直線前進(jìn)；

②A球擊中B球，意味著B球在A球前進(jìn)的路線上，且B球被撞擊后沿著A球原來的方向前進(jìn)；

③球撞擊桌邊后的反彈角等于入射角，如圖2，設(shè)桌面上只剩下白球A和6號(hào)球B，希望A球撞擊桌邊上C點(diǎn)后反彈，再擊中B球。

（1）給出一個(gè)算法（在電腦程序設(shè)計(jì)中把解決問題的方法稱為算法），告知電腦怎樣找到點(diǎn)C，并求出C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)桌邊RQ上有一球袋S（100，120），給出一個(gè)算法，判定6號(hào)球被從C點(diǎn)反彈出的白球撞擊后，能否落入球袋S中（假定6號(hào)球被撞擊后的速度足夠大）。

解：（1）作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn) ，連接

因?yàn)榍蜃矒糇肋吅蟮姆磸椊堑扔谌肷浣?/p>

則 與x軸的交點(diǎn)即為電腦所要找的C點(diǎn)

（2）因S（100，120）滿足直線 的解析式 ，因此，可判定6號(hào)球被從C點(diǎn)反彈出的白球撞擊后，能落入球袋S中。

二、中心對(duì)稱

中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能夠完全重合，這兩個(gè)圖形關(guān)于該點(diǎn)對(duì)稱，該點(diǎn)稱為對(duì)稱中心。二者相輔相成，兩圖形成中心對(duì)稱，必有對(duì)稱中點(diǎn)，而點(diǎn)只有能使兩個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)180°后完全重合才稱為對(duì)稱中點(diǎn)。

把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。

中心對(duì)稱廣泛存在于幾何問題中，巧妙利用好中心對(duì)稱原理，可使我們?cè)诮鉀Q問題時(shí)多一條有效途徑，常能起到化繁為簡(jiǎn)，出奇制勝的效果。。

例3：如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若將矩形折疊，使C點(diǎn)和A點(diǎn)重合，求折痕EF的長(zhǎng).

分析：將矩形折疊，使C點(diǎn)和A點(diǎn)重合，折痕為EF，就是A、C兩點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，這方面的知識(shí)在解決一些翻折問題中起關(guān)鍵作用，對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為中垂線性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，求線段長(zhǎng)度或面積.

用到的知識(shí)點(diǎn)：中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能夠完全重合，這兩個(gè)圖形關(guān)于該點(diǎn)對(duì)稱，該點(diǎn)稱為對(duì)稱中心。二者相輔相成，兩圖形成中心對(duì)稱，必有對(duì)稱中點(diǎn)，而點(diǎn)只有能使兩個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)180°后完全重合才稱為對(duì)稱中點(diǎn)。