負載下CFRP約束混凝土應力-應變關系分析型模型

潘 毅， 萬 里， 吳曉飛

(1.西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031;2.西南交通大學交通隧道工程教育部重點實驗室，四川成都 610031)

FRP(fiber reinforce plastic)約束混凝土柱可以提高柱的強度和延性.在過去10多年中，國內外對FRP約束混凝土的應力-應變關系模型進行了大量研究.文獻[1]指出，FRP約束混凝土的應力-應變關系模型大致可分為設計型模型和分析型模型.設計型模型將FRP約束混凝土作為一個整體，通過試驗回歸得到FRP約束混凝土的應力-應變模型.分析型模型考慮了FRP與混凝土柱的受力平衡和應變協調條件，物理意義明確，更適用于FRP約束混凝土的非線性分析.文獻[2-5]基于Mander等提出的箍筋約束混凝土的應力-應變關系[6]，用迭代方法得到了FRP約束混凝土的軸向應力-應變關系;文獻[7]根據八面體強度準則提出了FRP約束混凝土峰值應力的計算方法;文獻[8-9]根據大量試驗數據，對FRP約束混凝土的軸向-側向應變關系進行了修正.然而，這些研究大多針對混凝土無負載的情況，而負載會造成FRP的拉應變滯后，降低FRP的側向約束力，最終導致FRP約束混凝土的峰值應力和峰值應變下降.

本文在試驗研究的基礎上，對負載下CFRP(carbon FRP)約束圓形、方形截面混凝土柱的峰值應力、峰值應變進行了修正，并根據文獻[8-9]提出的主動約束方程，采用增量迭代方法，引入等效圓的概念，建立了負載下CFRP約束混凝土圓形截面柱和方形截面柱的應力-應變關系分析型模型，模型計算結果與試驗結果吻合較好，可以有效考慮負載水平對CFRP約束混凝土柱的影響.

1 負載下的峰值應力和峰值應變

文獻[2-5]都采用Mander等提出的箍筋約束混凝土模型[6]模擬FRP約束混凝土柱，但鋼材為彈塑性材料，FRP為線彈性材料，FRP約束混凝土柱的受力情況不同于箍筋約束混凝土柱.文獻[8-9]通過回歸分析提出了更適合FRP約束混凝土柱峰值應力和峰值應變的表達式，可以較好地模擬FRP約束混凝土圓柱的峰值應力和峰值應變，但只能用于圓形截面，且沒考慮負載水平(預加荷載與未包裹碳纖維混凝土柱破壞荷載之比)對FRP約束混凝土柱峰值應力和峰值應變的影響.

試驗發現，負載水平會降低CFRP約束混凝土圓柱和方柱的峰值應變和峰值應力[10-11]，且降低幅度是負載水平的函數.基于試驗數據回歸分析提出的負載下CFRP約束混凝土圓柱峰值應力和峰值應變分別為[10]式中:σl為FRP提供的側向約束力;σco和σcc分別為不考慮FRP約束和考慮FRP約束時混凝土的軸向峰值應力;εco和εcc分別為不考慮FRP約束和考慮FRP約束時混凝土的軸向峰值應變;kσ為負載下圓形截面柱峰值點的應力影響因子，kσ=(1.0-m2.3129)0.5667，其中 m 為混凝土柱的負載水平;kε為負載下圓形截面柱峰值點應變影響因子，kε=(1.0-m0.962)0.186;El為側向約束剛度;Ec為混凝土抗壓彈性模量.

圖1和圖2分別為根據式(1)和式(2)計算的負載下CFRP約束混凝土圓柱的峰值應力、峰值應變與試驗測得的峰值應力、峰值應變的比較.可見，式(1)計算的負載下CFRP約束混凝土圓柱峰值應力的誤差在10%以內，式(2)計算的負載下CFRP約束混凝土圓柱峰值應變的誤差在20%以內.

圖1 圓形截面混凝土柱的峰值應力Fig.1 Peak stress for circular-section concrete column

圖2 圓形截面混凝土柱的峰值應變Fig.2 Peak strain for circular-section concrete column

FRP約束方形截面混凝土柱中存在非有效約束區，會造成混凝土柱側向變形和FRP橫向拉應變分布不均勻[12]，使得約束強度的計算變得復雜.引入等效圓的概念來簡化CFRP約束方形截面混凝土柱中CFRP側向約束力的計算[13]，計算得到方柱的等效側向約束力

式中:ks為截面系數，定義為有效約束面積與方柱橫截面積之比;Efrp為FRP的彈性模量;εh為FRP的拉應變;tfrp為FRP片材厚度;De為等效圓直徑，定義為方形截面對角線長度.

由等效圓的概念得到CFRP約束混凝土方柱側向應力表達式后，可根據試驗數據回歸得負載下CFRP約束混凝土方柱的峰值應力和峰值應變[11]:

式中:k'σ為負載下方形截面柱峰值點的應力影響因子，k'σ=(1.0-m2.12)0.86;k'ε為負載下方形截面柱峰值點的應變影響因子，k'ε=(1.0-m1.36)0.28.

圖3和圖4分別為根據式(4)和式(5)計算的負載下CFRP約束混凝土方柱峰值應力、峰值應變與試驗測得的峰值應力、峰值應變的比較.

從圖3和圖4可見，式(4)可以將負載下CFRP約束混凝土方柱峰值應力的計算誤差控制在15%以內，式(5)可以將負載下CFRP約束混凝土方柱峰值應變的計算誤差控制在15%以內.

圖3 方形截面混凝土柱的峰值應力Fig.3 Peak stress for square-section concrete column

圖4 方形截面混凝土柱的峰值應變Fig.4 Peak strain for square-section concrete column

求得負載下CFRP約束混凝土柱的峰值應力和峰值應變后，可根據文獻[14]提出的σc-εc計算表達式(6)，得到負載下CFRP混凝土柱的軸向應力σc和軸向應變εc的關系:

式中，r為衡量混凝土脆性的參數，r=Ec/(Ecσcc/εcc).

2 軸向-側向應變關系計算模型

文獻[14-15]對FRP約束混凝土柱割線泊松比的研究發現，極限狀態下FRP約束混凝土柱的泊松比約為0.2，并根據極限狀態下的泊松比近似得到FRP約束混凝土柱的側向應變.但由于極限狀態下FRP約束混凝土柱內部裂縫發育明顯，用泊松比近似計算FRP約束混凝土柱的軸向-側向應變關系不準確.文獻[8-9]通過試驗發現，FRP約束混凝土柱的軸向應變εc與側向應變εl、約束比σl/σco關系密切.文獻[8]給出的側向約束時混凝土柱的軸向-側向應變關系為

式中:εl為混凝土的有效側向應變，它與FRP實際環向拉應變εh的關系為εl=-εh.

式(7)建立了FRP約束混凝土柱的軸向-側向應變關系，可以有效模擬FRP約束混凝土柱的軸向-側向應變關系[7].

3 計算步驟

根據提出的考慮負載后CFRP約束混凝土柱的峰值應力、峰值應變計算公式和基于文獻[8]提出的FRP約束混凝土柱的軸向-側向應變關系，通過迭代方法即可建立負載下CFRP約束混凝土的應力-應變關系分析模型.主要計算步驟:

步驟4 由式(1)或式(4)得到CFRP約束混凝土圓柱或方柱的峰值應力;

步驟5 由式(2)或式(5)得到CFRP約束混凝土圓柱或方柱的峰值應變;

步驟6 由式(6)得到CFRP約束混凝土應力-應變曲線上一點;

圖5 FRP約束圓形截面混凝土應力-應變關系的計算、試驗結果Fig.5 Numerical simulation and experimental stress-strain curves for FRP confined circular-section concrete columns

Fortran 95作為程序設計語言，在Compaq Visual Fortran 6.5編譯器下開發了相應的計算程序.

4 模型驗證

圖5和圖6分別為FRP約束的2種截面混凝土應力-應變關系的計算與試驗結果(圖5中截面尺寸為直徑×高).負載水平相近的曲線形狀大致相同，為便于比較，每組構件僅選擇了4條典型曲線，負載水平分別約為 0.0、0.3、0.5 和0.7.

圖6 FRP約束方形截面混凝土應力-應變關系的計算、試驗結果Fig.6 Numerical simulation and experimental stress-strain curves for FRP confined square-section concrete columns

可見，不論是CFRP約束的混凝土圓柱還是方柱，提出的應力-應變分析型模型可以較好地考慮負載水平對CFRP約束混凝土應力-應變關系的影響，模擬得到的應力-應變曲線與試驗結果吻合較好.此外，FRP約束圓柱的吻合程度明顯好于方柱.主要是由于FRP約束方形截面混凝土柱時，盡管引入等效圓的概念能大大簡化分析的復雜程度，并能高效模擬出應力-應變曲線，但很難準確反映混凝土側向應變和FRP環向拉應變的不均勻性.另外，拐角半徑、截面形狀等影響因素也使FRP破壞的隨機性高于FRP均勻約束下的圓柱體.

5 結論

為考慮負載水平的影響，根據試驗結果，引入負載影響因子和等效圓的概念，以J G Teng本構模型為主動約束關系，建立了負載下CFRP約束混凝土應力-應變關系分析型模型，得到以下結論:

(1)提出的峰值應力影響因子和峰值應變影響因子可以較好地修正負載下CFRP約束混凝土柱的峰值應力和峰值應變.

(2)引入等效圓的概念，使提出的模型能夠用于方形截面柱.方形截面柱的模擬效果不如圓形截面柱，主要是由于其側向約束力分布不均勻.

(3)所建立的分析型模型能較準確地模擬負載下CFRP約束混凝土的應力-應變關系.

[1]TOGAY J C，THOMAS V.FRP-confined concrete in circular sections:review and assessment of stress-strain models[J].Engineering Structures，2013，49(4):1068-1088.

[2]SAMAAN M，MIRMIRAN A，SHAHAWY M.Model of concrete confined by fiber composites[J].Journal of Structure Engineering，1998，124(9):1025-1031.

[3]MIRMIRAN A，SHAHAWY M.Dilation characteristics ofconfined concrete[J]. Mechanics ofCohesive-Frictional Materials，1997，2(3):237-249.

[4]SPOELSTRA M R，MONTI G.FRP-confined concrete model[J]. Journal of Composites for Construction，1999，3(3):143-150.

[5]FAM A Z，RIZKALLA S H.Confinement model for axially loaded concrete confined by circularfiberreinforced polymer tubes[J].ACI Structural Journal，2001，98(4):451-461.

[6]MANDER J B，PRIESTLEY M J，PARK R.Theoretical stress-strain model for confined concrete[J].Structure Engineering，1988，114(8):1804-1826.

[7]王震宇，王代玉，呂大剛.FRP約束混凝土圓柱應力-應變分析模型[J].哈爾濱工業大學學報，2010，42(2):200-206.

WANG Zhenyu，WANG Daiyu，Lü Dagang.Stressstrain analyticalmodelfor FRP-confined concrete circular column[J]. Journal of Harbin Institute of Technology，2010，42(2):200-206.

[8]JIANG T，TENG J G.Analysis-oriented stress strain models for FRP-confined concrete[J]. Structure Engineering，2007，29(11):2968-2986.

[9]TENG J G，HUANG Y L，LAM L，et al.Theoretical model for fiber reinforced polymer-confined concrete[J].Journal of Composites for Construction，2007，11(2):201-210.

[10]曹雙寅，潘毅，敬登虎，等.負載下碳纖維布約束混凝土圓柱應力-應變關系的試驗研究與分析[J].東南大學學報，2008，30(2):788-793.

CAO Shuangyin， PAN Yi， JING Denghu， et al.Experimentalresearch on axially loaded circular concrete columns confined by CFRP under preload[J].Journal of Southeast University，2008，30(2):788-793.

[11]潘毅，曹雙寅，敬登虎，等.負載下碳纖維布約束混凝土方柱應力-應變關系的試驗研究與分析[J].土木工程學報，2009，42(1):23-29.

PAN Yi，CAO Shuangyin，JING Denghu，et al.Test and analysis of the axial stress-strain relationship of square-section concrete columns confined by CFRP under preload[J].China Civil Engineering Journal，2009，42(1):23-29.

[12]ROCHETTE P，LABOSSIERE P.Axial testing of rectangular column modelsconfined with composites[J].Journal of Composites for Construction，2000，4(3):129-136.

[13]YANG X，WEI J，NANNI A.Shape effect on the performance of carbon fiber reinforced polymer wraps[J]. Journal of Composites for Construction，2004，8(5):444-451.

[14]吳剛，呂志濤.纖維增強復合材料(FRP)約束混凝土矩形柱應力-應變關系的研究[J].建筑結構學報，2004，25(3):99-106.

WU Gang，Lü Zhitao.Study on the stress-strain relationship ofFRP-confined concrete rectangular columns[J].Journal of Building Structures，2004，25(3):99-106.

[15]SAMDANIS. Analyticalstudy ofFRP-confined concrete columns[D].Toronto:University of Toronto，2003.