提高高中數學解題練習有效性的幾種方法

陳曉娟

摘 要：習題不僅是教材的有機組成部分，而且對檢驗教師的教學效果與學生的學習成果具有非常重要的意義與作用。教師要提高學生的數學應用能力，可以從提高學生解題練習的有效性入手，根據不同的題目難度與題目類型選用不同的方法。

關鍵詞：高中數學 解題練習 有效性 方法

習題不僅是教材的有機組成部分，而且對檢驗教師的教學效果與學生的學習成果具有非常重要的意義與作用。特別是教材里每個章節所配套的練習，基本上涵蓋了該章節的知識要點，而且也體現出該章節的能力要求。與此同時，它也是許多習題冊進行習題難度升級、題型轉化的藍本。因此，教師要想提高學生的數學應用能力，可以從提高學生解題練習的有效性入手，根據不同的題目難度與題目類型選用不同的方法。

一、以題目難度為劃分標準

根據題目難度由淺至深、由簡入繁、由表及里的疊加原則，可以將題目難度劃分為以下三類。

1.基礎型——原理定律法

基礎型題目指的是淺顯易懂的、無須花費過多時間思考即可求解的題目，它往往是某一個定律或者原理的直接體現。對于這類基礎型題目，教師應當引導學生利用原理定律法來完成。以“集合與函數”這一知識點為例，題目“求解由方程x2-9=0的實數根組成的集合”即為基礎型題目。該題目的求解關鍵在于實數開方的運算方式，學生可以通過心算得出答案為“A={3，-3}”。對于這一類基礎型題目，提高學生解題有效性的關鍵在于督促學生提高對原理、定律的熟悉程度。譬如一定要熟練掌握該章節中集合的運算法則A∪（B∪C）=（A∪B）∪C，A∩（B∩C）=（A∩B）∩C，A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）等。只要學生能夠熟記固定的公式，就可以在短時間內順利解答基礎型題目。

2.綜合型——條分縷析法

綜合型題目指的是題目包含的知識要點多且雜，同一道題目可能涉及多個板塊的知識要點。對于此類題目，教師應當指導學生利用條分縷析法來完成。以“函數的奇偶性與周期性”這一知識點為例，題目“判斷f（x）=x2+x，x<0，-x2+x，x>0？搖的奇偶性”即為綜合型題目，該題目本身就分成了兩種情況，明確指出需要學生進行區分。因此，學生在解題時，首先要遵循題目要求進行分情況求解，然后在分情況的基礎上在最后進行結論的融入。以該題目的求解為例，當x<0時，-x>0，則f（-x）=-（-x）2-x=-（x2+x）=-f（x）；當x>0時，-x<0，則f（-x）=（-x）2-x=x2-x=-（-x2+x）=-f（x）。

因此，對于任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f（-x）=-f（x），所以f（x）為奇函數。

在運用條分縷析法解答綜合型題目時，應當注意兩個核心：其一是題目的識別。一方面是要正確審題，避免遺漏題目中隱含的信息。另一方面是要明確題目的考查要點，避免在解題過程中出現遺漏要點的情況致使答案有所欠缺。其二是步驟的安排。綜合型題目一般都內含幾個小問題，這些問題或是以平行的方式出現，或是以遞進的方式出現，對此，學生應當根據小問題間的關系來安排解題的先后順序，避免出現思路的紊亂。

3.開放型——創新思維法

開放型題目主要指的是題目沒有明確規定答題的方向，甚至沒有標準答案，其難度系數最高，對學生的挑戰也最大。對于此類題目，學生應當運用創新思維法來提高解題的有效性。以“數列”這一知識點為例，題目“假如有兩張長x米，寬y米的長方形桌子，要將它們拼組成一張長方形的桌子，可以有幾種拼法，每一種拼法拼成的桌子的座位安排如何”即為開放型題目。從這一題目來看，學生一方面要考慮人員座次的安排，另一方面要考慮拼組的實際可能性。這一看似簡單的題目實則既考查了學生數列方面的相關知識，同時也考查了學生對實際生活的觀察能力。面對這類開放型題目，很多學生都會因方向不明或審題不準而出現無從下手甚至主觀放棄的念頭。因此，教師在指導學生運用創新思維法解答該類開放型題目時，一方面要讓學生盡可能將已知的、掌握的知識要點往題目上靠，以盡快尋找到解題思路，另一方面要鼓勵學生采用學科融合的方式來思考，以尋求解題的關鍵所在。總的來講，提高該類題目練習有效性的方式應當從培養學生的創新思維入手，避免學生在彷徨中陷入僵化固有的思維模式之中而無法破解題目。

二、以題目類型為劃分標準

從視覺感官及邏輯思維的角度看，數學題目大致上可分為以下三類。

1.數值求解類——反復強化法

數值求解是數學題目中最常見最大眾的類型，從題目結構及因素的角度來說，這類題目是純數字的運算。以“等差數列”這一知識點為例，題目“一個等差數列的前12項和為354，前12項中，偶數項和與奇數項和之比為32∶34，求公差d”“等差數列an的前n項和為Sn，已知a10=30，S10=50，求通項an及當Sn=242時，n的數值”即為數值求解類題目。通過觀察可以發現，數值求解類題目的本質在于數值之間的多重運算，其關鍵在于對運算法則的熟悉程度、對數值的敏感程度以及解題時對細節的把握程度，而這些技能和素質均可以通過系統的訓練來培養。因此，提高該類題目練習有效性的方式是通過訓練反復強化學生的數學基本技能和基本素質。需要注意的是，該類題目具有的另一個特征就是形式的變化，從正向向逆向轉變，從分組向合并轉變等。教師在指導學生進行該類題目的求解練習時，還應當重視對題目進行單元歸并及舉一反三，幫助學生實現精準時短的解題效果。

2.圖形演練類——模擬假借法

圖形隸屬于幾何的范疇，在高中數學里，包括直線、平面、棱柱、棱錐、圓、球等。在圖形演練類題目中，一般包括推論證明與數值求解這兩大類，而且它們均是以考查學生的空間想象能力為基礎與前提。對于此類抽象型題目，教師應當指導學生采用模擬假借法來進行練習。具體來講，一方面，在解題教學中，教師可以變抽象為具象，如將平面圖紙上的球比喻成地球儀、足球、籃球等常見之物，這既有利于教師因地制宜地借用現有教學資源，同時也有利于提高教師講解過程的生動性與形象性，幫助學生更好地理解題目并解答題目。另一方面，鼓勵學生在自行解題的過程中也可以巧借外來之物進行模擬想象，比如利用七巧板、積木等搭建起與題目圖形類似的形狀，幫助學生更好地進行觀察與分析。總的來講，對比單純的數值求解類題目，圖形演練類題目的抽象性更高，難度也更大，其解題練習有效性的關鍵在于變抽象為具象，變立體為平面，以實現空間的轉化與思維的演練。

3.生活應用類——聯系實際法

生活應用類題目指的是題目以生活場景為背景，以生活例子為實例。以“導數”這一知識點為例，題目“已知火車最高速度為每小時120千米，且其鍋爐每小時消耗煤的費用與火車行駛的速度的立方成正比，已知當火車速度為每小時20千米時，每小時消耗的煤價值40元，其他費用每小時需200元，問如何才能使火車從甲城開往乙城的總費用最省”即為生活應用類題目，此類題目的最大特點是生活氣息強，題目內容往往是學生可接觸到的或是容易耳聞所知的生活實例，因此，教師在指導學生進行該類題目的練習時，應當采用聯系實際的方法來提高解題的有效性。一方面，可鼓勵學生多從生活可能性的角度來思考問題，避免求解結果偏離實際。另一方面，可鼓勵學生在日常生活中多思考、多觀察，潛移默化地培養自己的邏輯思維能力。

題目的解答不僅可以實現由理論到實踐的轉化，而且也有助于學生順利完成知識的吸收與運用。有鑒于此，為了提高學科能力，不少學生都熱衷于“題海戰術”，寄希望于通過量的疊加來實現質的轉變。但根據辯證唯物主義的理論，由量變到質變需要某種特殊的條件，而對于解題來講，這種特殊條件就是解題練習的有效性。因此，教師在進行數學解題練習的講解時，應當根據不同的題目難度、不同的題目類型介紹不同的解題方法，以幫助學生選擇適合自己的、科學合理的解題思路與答題方式，這樣才能取得“四兩撥千斤”的理想效果。