圓錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用

摘 要：數(shù)學(xué)是高中教學(xué)各學(xué)科中重要科目之一，并且一直被當(dāng)做核心學(xué)科對(duì)待，是高考的重難點(diǎn)。解析幾何又是數(shù)學(xué)中的重要組成部分，因此研究解析幾何十分重要。本文著重探討了解析幾何中圓錐曲線的性質(zhì)以及其推廣應(yīng)用，并采用數(shù)形結(jié)合的展開研究，為圓錐曲線教學(xué)工作的開展提供了準(zhǔn)確參考。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；性質(zhì)；推廣應(yīng)用

一、圓錐曲線分類及定義分析

一般來說，數(shù)學(xué)中將圓錐曲線的定義概述為：平面上，一個(gè)定點(diǎn)到一條定直線的距離之比為常數(shù)（e）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。并且根據(jù)常數(shù)e的取值將圓錐曲線分為橢圓（e<1）、雙曲線（e>1）、拋物線（e=1）。

有關(guān)圓錐曲線的研究又來已久，古希臘的數(shù)學(xué)家就曾對(duì)圓錐曲線進(jìn)行過系統(tǒng)研究。例如：阿波羅尼嘗試采用平面切割圓錐的方法得到各種圓錐曲線，即，使用與錐軸垂直的平面截?cái)鄨A錐可得到圓；將平面稍微傾斜可得到橢圓；平面傾斜幅度大一些即可得到雙曲線；平面與圓錐母線平行時(shí)可得到拋物線。因此，阿波羅尼曾經(jīng)將橢圓稱為“虧曲線”、雙曲線為“超曲線”，拋物線為“齊曲線”。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展使得人們對(duì)圓錐曲線的研究脫離了直觀的幾何圖形，而是采用直角坐標(biāo)系建立每個(gè)圖形的數(shù)學(xué)方程，使得圓錐曲線真正實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。按照方程思想我們可以將圓錐曲線分為三大類，例如：到兩個(gè)定點(diǎn)（F1、F2）的距離之和為定值（2a）的一條曲線軌跡為橢圓；到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差絕對(duì)值為定值（2a）的一條曲線軌跡為雙曲線；定點(diǎn)與直線距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線。對(duì)此我們可以將橢圓、雙曲線、拋物線的方程分別表示為：

橢圓：（a>b>0）

雙曲線：（a>0，b>0）

拋物線：y2=2px

總體來看，圓錐曲線主要包括圓、橢圓、雙曲線以及拋物線四種，雖然這四種曲線有很多不同之處，但是仍然有很多相似之處。對(duì)此，教師在教學(xué)工作中要重點(diǎn)向?qū)W生講解以上曲線的聯(lián)系及不同點(diǎn)，從而使學(xué)生準(zhǔn)確把握曲線的性質(zhì)，進(jìn)而為在實(shí)踐中靈活運(yùn)用圓錐曲線奠定基礎(chǔ)。

二、圓錐曲線性質(zhì)分析

1.根據(jù)方程判定焦點(diǎn)位置

第一，橢圓焦點(diǎn)位置。判斷橢圓焦點(diǎn)位置應(yīng)比較a2、b2若a2大則焦點(diǎn)在x軸上，若b2大則焦點(diǎn)在y軸上。例如：方程的焦點(diǎn)在y軸上，由此判斷m取值范圍。解：由于焦點(diǎn)在y軸，因此（2-m）>（m-1），所以可得m取值范圍為（1，3/2）。

第二，雙曲線焦點(diǎn)位置。雙曲線焦點(diǎn)位置的判斷需由x2、y2向系數(shù)的政府決定，系數(shù)為正則焦點(diǎn)位于該軸上。例如：方程的焦點(diǎn)在y軸上，由此判斷m取值范圍。解：由于焦點(diǎn)在y軸，因此（2-m）>0，所以可得m取值范圍為（-，2）。

第三，拋物線的焦點(diǎn)位置。拋物線的焦點(diǎn)位置以及開口方向分別由一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸以及一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)確定。

2.橢圓性質(zhì)分析

根據(jù)前文指出的橢圓方程，我們通常將常數(shù)e稱作為橢圓的離心率。并且橢圓性質(zhì)還包括以下幾個(gè)定理：

第一，假設(shè)橢圓右焦點(diǎn)弦為直線AB，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為M，那么ABM<。

第二，假設(shè)過橢圓焦點(diǎn)的直線x橢圓交于A（x1，y1）B（x2，y2）兩點(diǎn)，那么我們可以將作為橢圓的弦，并且。

第三，假設(shè)一條直線過橢圓焦點(diǎn)，并且垂直于長(zhǎng)軸，那么可將直線與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)AB組成的直線 稱作為通徑，且。

3.雙曲線的性質(zhì)

根據(jù)雙曲線的方程，我們同樣可以將常數(shù)e作為雙曲線的離心率，并將直線x=作為準(zhǔn)線。并且雙曲線同樣包括幾個(gè)定理：

第一，雙曲線漸近線方程會(huì)隨著焦點(diǎn)位置而發(fā)生變化，具體為：焦點(diǎn)在x軸，漸近線方程為y=；焦點(diǎn)在y軸，漸近線方程為y=。

第二，a=b時(shí)，雙曲線又被稱為等軸雙曲線，漸近線方程為y=±x，標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y2=c，（c0）；離心率e=。

4.拋物線性質(zhì)

根據(jù)拋物線的定義及圖形可以發(fā)現(xiàn)拋物線定理有：

第一，拋物線通徑是所有過拋物線焦點(diǎn)的弦中最短的一條。

第二，假設(shè)拋物線y=ax2（a>0）動(dòng)弦為AB，長(zhǎng)為m；若m≧，直線AB中點(diǎn)到x軸的最小距離為。若m<，直線AB中點(diǎn)到x軸的最小距離為。

第三，假設(shè)過拋物線y=2px（p>0）焦點(diǎn)的直線與拋物線交點(diǎn)A（x1，y1）B（x2，y2），直線OA與OB的斜率為k1、k2，直線l的傾斜角為a，那么可以得到：y1y2=-p2，x1x2=，k1k2=-4，，，，。

三、圓錐曲線推廣應(yīng)用

1.橢圓性質(zhì)在計(jì)算圓柱形容器方面的應(yīng)用

相比于其他形狀的容器，圓柱形容器在不損失容量體積的情況下用到的制作材料最小，因此制作成本最低。然而，在容器高度及寬度均受到運(yùn)輸車輛限制的情況下，將容器橫截面調(diào)整為橢圓形，便能達(dá)到節(jié)省材料，提高容器利用效率，保證容器穩(wěn)定性與安全性的目的。

2.電力工程中的冷卻塔建設(shè)應(yīng)用到雙曲線

冷卻塔中部直徑小于底部以確保蒸汽被盡可能多的抽入到塔內(nèi)，避免蒸汽從底部溢出造成能源浪費(fèi)；同時(shí)，塔上部直徑小于塔底、大于塔中，可以確保頂部上升熱流的流動(dòng)速度有效降低，減少抽力，進(jìn)而提高蒸汽回收率，避免蒸汽溢出。

3.橋梁建設(shè)中應(yīng)用到拋物線

橋梁建設(shè)過程中經(jīng)常要用到拋物線及其性質(zhì)，例如：我國名橋趙州橋便是應(yīng)用拋物線性質(zhì)進(jìn)行建造的，并且1400年后的今天，趙州橋依然堅(jiān)固如初。這一事例充分表明了拋物線在社會(huì)生產(chǎn)生活中的應(yīng)用。

四、結(jié)語

研究圓錐曲線性質(zhì)及推廣應(yīng)用在提高高中解析幾何教學(xué)水平，鞏固學(xué)生對(duì)圓錐曲線知識(shí)的掌握以及培養(yǎng)學(xué)生理論與實(shí)踐相結(jié)合能力等方面發(fā)揮著重要的作用。對(duì)此，文章在闡述圓錐曲線定義及分類的基礎(chǔ)，對(duì)各類圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行了詳細(xì)探究，并對(duì)圓錐曲線性質(zhì)在實(shí)際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)單了解，從而為高中解析幾何教學(xué)提供了參考。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊旭.圓錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用[J].科技資訊，2013，（25）：236-239.

作者簡(jiǎn)介：孫志偉（1982-），男，籍貫：遼寧朝陽，學(xué)士學(xué)位，中教二級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。