初等函數(shù)值域(最值)的導(dǎo)數(shù)求法

林順來 楊朝熙

(漳州市第三中學(xué)，福建 漳州 363000)

初等函數(shù)值域(最值)的導(dǎo)數(shù)求法

林順來 楊朝熙

(漳州市第三中學(xué)，福建 漳州 363000)

函數(shù)值域、最值問題歷來是教學(xué)中的重、難點(diǎn)。由于沒有通性通法，學(xué)生往往難于找到有效的解決方法。文章從可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性出發(fā)，運(yùn)用函數(shù)極值、極限等知識(shí)獲得值域、最值的導(dǎo)數(shù)求法，從而得到一種通法。

值域；最值；求導(dǎo)；極值；極限

我們知道對(duì)于給定函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定，確定的方法是針對(duì)函數(shù)的類型選取相應(yīng)的方法：(1)若為特殊的基本初等函數(shù)(正比例函數(shù)反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)、冪函數(shù)等)，這類函數(shù)的值域問題利用它們定義域上的單調(diào)性求解。(2)若為復(fù)合函數(shù)，可以利用其定義域上的單調(diào)性(判定方法是：通過復(fù)合前基本初等函數(shù)的單調(diào)性并循“同增異減”的法則)來獲得值域。(3)其他的基本初等函數(shù)的值域，通常的處理方法是：對(duì)解析式的特征選取特定的方法加以解決(常見的方法有：二次函數(shù)型的配方法、反函數(shù)法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法、不等式法、函數(shù)的有界性法等[1])。由于沒了共性通法，教學(xué)中學(xué)生往往感到困難。能否找到這類問題的通性通法？筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，處理問題的關(guān)鍵在于搞清此類函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性，若知道它的單調(diào)性情況便可求其值域。隨著教材中《導(dǎo)數(shù)》的學(xué)習(xí)，使得“可導(dǎo)函數(shù)”的單調(diào)性判斷成為可能。同時(shí)在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》(文科選修1-1、理科選修2-2“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”)專門辟出一節(jié)討論可導(dǎo)函數(shù)的最大值與最小值：

一、閉區(qū)間上函數(shù)的最值

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:

(1)f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；

(2)將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值。

二、單峰函數(shù)的最值

可導(dǎo)函數(shù)在其定義域(區(qū)間)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)=0,如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)值比較；也可以知道這就是最大(小)值。這里所說的定義域(區(qū)間)也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間。

上述兩點(diǎn)的指導(dǎo)意義:提供了可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),x∈D最值的導(dǎo)數(shù)求法，利用這種方法同樣可以求函數(shù)的值域:

若函數(shù)y=f(x)是定義在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)。那么函數(shù)y=f(x)的值域即為最大值與最小值。(1)f′(x)=0令解出方程在定義區(qū)間上的根；(2)比較f(x)在方程f′(x)=0的根處的函數(shù)值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,就能得出最大最小值。

得可疑點(diǎn)x=-1,x=1(不合題意舍去)

通過比較,可見函數(shù)f(x)=x4-1nx4有最大值e4-4,最小值1.

求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的過程中,當(dāng)?shù)贸隹梢牲c(diǎn),無須再檢驗(yàn)它是否為極值點(diǎn),而直接將可疑點(diǎn)與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較,這是與求可導(dǎo)函數(shù)的極值不同的地方[2]。

計(jì)算函數(shù)在可疑點(diǎn)與端點(diǎn)處的值為：

又∵當(dāng)x∈(-∞，0)時(shí)，y′>0

對(duì)于無理函數(shù)的值域問題,傳統(tǒng)解題思路要么通過平方去掉根號(hào),再根據(jù)二次函數(shù)的一些性質(zhì)求值域;或者通過換元,令其中一項(xiàng)等于t,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)求解。這兩種方法在實(shí)際操作中沒那么容易，學(xué)生遇到這類問題心理上會(huì)產(chǎn)生畏懼感，若用可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法，就會(huì)顯得自然。例3解法利用單峰函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)獲得值域，解決了導(dǎo)數(shù)在求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)值域的一般性方法。

得可疑點(diǎn)x=-1,x=1；當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí)，y′<0；

當(dāng)x∈(-1，)時(shí)，y′>0；

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),y′<0。

當(dāng)x→+∞時(shí)，y充分接近0.

注：本題的導(dǎo)數(shù)法以及函數(shù)極限在求值域中的運(yùn)用。至此,可導(dǎo)函數(shù)在其定義域上的值域均可用上面的方法獲得。

通過上面的分析，對(duì)一般的初等函數(shù)，求函數(shù)的最大(小)值基本的方法是通過函數(shù)的單調(diào)性來判定，它的最值必在下列各點(diǎn)中取得：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)、端點(diǎn)。關(guān)鍵在于對(duì)不可導(dǎo)的連續(xù)點(diǎn)，開區(qū)間或無窮區(qū)間內(nèi)最大(小)值的分析，借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)使得初等函數(shù)的最值問題獲得全新的思路和方向。

解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在[0，+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù).于是不等式可轉(zhuǎn)化為f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.

數(shù)學(xué)高考中經(jīng)常涉及方程或不等式中參數(shù)的取值范圍的考查。在解與不等式或方程有關(guān)的問題時(shí),此類問題常常運(yùn)用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或最值獲得解決。我們往往由于忽略變換的等價(jià)性而產(chǎn)生錯(cuò)誤的解答,如果能恰當(dāng)?shù)乩脤?dǎo)數(shù)解法，利用函數(shù)單調(diào)性,則會(huì)避免這種錯(cuò)誤.下面的兩道高考題筆者給出異于參考答案的導(dǎo)數(shù)解法，從中體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決最值問題的極大優(yōu)勢(shì)：

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；

(Ⅱ)設(shè)α≥1，函數(shù)g(x)=x2-3α2x-2α，x∈[0,1],若對(duì)于任意x1∈[0,1]，總存在x0∈[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求x∈[0,1]的取值范圍.

通過比較可知：當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇-4,-3].

(Ⅱ)對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)，得g′(x)=3(x2-α2)

因此α≥1，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，g′(x)<3(1-α2)≤0

因此當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，g(x)為減函數(shù)，從而當(dāng)x∈[0,1]時(shí)有g(shù)(x)∈[g(1),g(0)]

又g(1)=1-2α-3α2，g(0)=-2α，即當(dāng)x∈[0,1]時(shí)有g(shù)(x)∈[1-2α-3α2,-2α]

任給x1∈[0,1]，f(x1)∈[-4,-3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)，則[1-2α-3α2,-2α]?[-4,-3]

例8.(數(shù)學(xué)高考上海春招)設(shè)函數(shù)f(x)=|x2-4x-5|

(1)在區(qū)間[-2,6]上畫出函數(shù)f(x)的圖像;

(2)設(shè)集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,2]∪[0,4]∪[6,+∞]，試判斷集合A和集合B之間的關(guān)系，并給證明.

(3)當(dāng)k>2時(shí)，求證：在區(qū)間[-1,5]上，y=kx+3k的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方.

解：(1)、(2)略.

對(duì)于(3)的，標(biāo)準(zhǔn)答案給出兩種方法。下面筆者利用導(dǎo)數(shù)的方法給出另一較為簡(jiǎn)便的解法：

分析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=kx+3k-|x2-4x-5|,x∈[-1,5],將題目轉(zhuǎn)化為探求函數(shù)f(x)=kx+3k-|x2-4x-5,x∈[-1,5],求使f(x)>0恒成立的常數(shù)k的取值范圍.

解：∵x∈[-1,5],|x2-4x-5|=-x2+4x+5;x+3>0

只需求t(x)當(dāng) x∈[-1,5]上的最大值t(x)max

解得可疑點(diǎn)x=1或x=-7(舍去)

計(jì)算t(-1)=0,t(1)=2,t(5)=0通過比較可知t(x)在區(qū)間[-1,5]上的最大值為t(1)=2.

∵不等式(I)恒成立的參數(shù)k的取值范圍是k>2.因此，當(dāng)k>2時(shí)，在區(qū)間[-1,5]上，y=kx+3k的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方.

回顧整個(gè)解題過程，解決問題的本質(zhì)在于將不熟悉的問題通過化歸與轉(zhuǎn)化的思想變形為熟悉的類型。筆者通過這個(gè)問題的探討，希望能夠更好的啟發(fā)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，多思考，善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提煉和掌握解決問題的通性通法。

[1]王后雄.課標(biāo)導(dǎo)航·高中基礎(chǔ)知識(shí)手冊(cè)(數(shù)學(xué))[M].廣西：接力出版社，2008.

[2]任鴻志.高中優(yōu)秀教案·數(shù)學(xué)(A)·必修Ⅰ[M].山東：南方出版社，2007.

2014-11-05

林順來(1964- )，男，福建平潭人，漳州市第三中學(xué)特級(jí)教師。

G622.0

A< class="emphasis_bold">文章編號(hào)：1673-9884(2015)02-0055-04

1673-9884(2015)02-0055-04