基于背景值和初始值改進的灰色預測模型

劉俊峰，夏愛生，夏軍劍

(軍事交通學院基礎部，天津300161)

GM(1，1)模型(灰色預測模型)［1］自 20 世紀80年代提出以來，由于其所具備的所需樣本少、計算簡單、可檢驗等特點，現已廣泛應用于國民經濟、工農業生產等各個領域，并成功解決了大量實際問題。但GM(1，1)模型本身存在一定的局限性，主要表現在兩個方面:一是背景值的構造，由于發展系數a和灰色作用量b對模型的預測精度有深刻的影響，而a、b的取值與背景值的構造方法有關聯，當a的預測值比較大時，傳統的預測模型預測誤差相對來說較大［2］;二是初始值的確定，傳統的灰色預測對于參數C的處理方法是曲線X(1)(t)過點(1，X(1)(1))，代入通解可以解出 C值，這樣做雖然可以使模型的計算過程簡單，但由于最優的擬合曲線并不一定經過歷史數據中的某一點，從而不能保證模擬序列和原始序列的最優擬合:這些因素導致了傳統預測模型相對不穩定。基于這種情況，本文提出了一種改進的GM(1，1)模型，并結合實例進行預測。

1 灰色預測模型原理

令 X(0)為 n元序列，X(0)={X(0)(1)，X(0)(2)，…，X(0)(n)}，X(1)為 X(0)一次累加生成，X(1)={X(1)(1)，X(1)(2)，…，X(1)(n)}。

于是X(1)的GM(1，1)白化形式的微分方程為

假設擬合曲線X(1)(t)過累加序列的第一個點，即當t=1時，^X(1)(t)=X(1)(1)代入式(3)，離散化可得GM(1，1)的時間相應序列:

還原到原始序列可得灰色預測模型

2GM(1，1)模型的改進

2.1 對背景值的改進

通過分析傳統的GM(1，1)模型的建模過程，發現發展系數a和灰色作用量b對模型的預測精度有深刻影響，a、b的取值與背景值的構造方法有關聯，傳統的背景值Z(k)(t)dt=(k+1)+X(1)(k))。經過預測發現當a比較小時，預測的誤差偏小;當a越大時，預測誤差就越大。本文提出修改背景值的權值λ，即令

根據微分方程解的形式，可求出權值λ，并可進行多次迭代，以達到減小誤差的目的。對式(1)在［k，k+1］上進行積分:

從上式可以看出，當a較小時，λ取1/2較合理，當a比較大時，λ取1/2會導致預測誤差加大。

由式(4)可得

在預測過程中發現矩陣B中含有待估參數a的函數λ，這里賦初始值λ=1/2，進行最小二乘估計，得到a的一次估計值a1，把a1代入式(5)，改變矩陣B，重新進行最小二乘估計，得到a的二次估計值a2，可逐步進行下去得出a的最優值。

2.2 對初始值的改進

對于白化微分方程式(1)的通解為式(3)，傳統的灰色預測對于參數C的處理方法是曲線X(1)(t)過(1，X(1)(1))點，代入通解可以解出 C值。這樣做雖然可以使模型的計算過程簡單，但由于沒有對白化方程的時間響應函數進行優化，從而不能保證模擬序列和原始序列的最優擬合。因為最優的擬合曲線并不一定經過歷史數據中的某一點。

針對GM(1，1)模型檢驗的一般方法，運用最小二乘法原理優化模型的時間響應函數，以X(1)序列的模擬值和X(1)序列的觀測值的殘差平方和最小為條件［3-4］，確定時間響應函數中的常數C，從而建立起相應的最優時間響應函數，大大提高了模型的預測精度。

(1)白化微分方程=b的解亦稱時間響應函數，表達式為

(2)灰色微分方程X(0)(t)+aZ(t)=b的時間相應序列為

證明

為了求C，利用最小二乘原理，構造X(0)序列的模擬值和X(0)序列的觀測值的殘差平方和函數:

求C使得S(C)達到最小。令S'(C)=0，求得唯一駐點:

根據問題的實際情況，得知殘差平方和S(C)在此駐點處取最小，故

(2)令 t=k+1，可以得到灰色微分方程X(0)(t)+aZ(t)=b的時間相應序列為

(3)對X(1)累減后化簡可還原原始數據。

3 實例分析與對比

為檢驗改進模型的性能，以文獻［5］中2003—2011年我國原煤總產量實測數據為例(見表1)，建立本文改進的GM(1，1)模型，對2009—2011年原煤總產量進行預測，并與文獻［5］中預測數據進行對比(見表2)。具體步驟:

(1)對原始序列進行累加處理，得到它的累加生成序列;

(2)利用經典模型預測初值，代入式(5)，利用式(6)進行預測;

(3)把預測出來的值再次代入式(5)，利用式(6)進行預測，得出時間相應式(1)的具體形式;

(4)把C值代入式(1)中預測出2009年的原煤總產量，并把預測值加入到原序列，重復以上步驟，直至把2009—2011年原煤總產量都被預測出來。

表1 2003—2011年我國原煤總產量

表2 2008—2011年我國原煤總產量預測值與相對誤差值對比

由表2可以看出，2008—2011年文獻［5］模型預測結果的平均誤差為1.25%;本文改進的GM(1，1)模型預測結果的平均誤差為0.81%，而2003—2011年本文預測結果的平均誤差為0.683%。可見本文改進的預測模型精度有了明顯的提高。

4 結語

在傳統的GM(1，1)模型中通常將背景值取為相鄰兩個數的算術平均值，對于不同的數據勢必導致誤差的精度不同，當a比較大時，預測的誤差較大。另外，直接將 ^X(1)(1)=X(1)(1)作為已知條件，求解模型的時間響應函數，這些都導致得出的預測數據精度不高。本文首先對背景值進行加權處理，從而得到精度較高的權值，同時根據最小二乘原理確定時間響應函數中的常數C，建立起相應的最優時間響應函數，并通過實例表明，改進的模型可以提高預測精度。

［1］ 鄧聚龍.灰色系統［M］.北京:國防工業出版社，1985:1-25.

［2］ 王葉梅，黨耀國，王正新.非等間距GM(1，1)模型背景值的優化［J］.中國管理科學，2008，16(4):159-161.

［3］ 王健.一類改進的灰色預測模型及其應用［J］.數學的實踐與認識，2013，43(9):181-185.

［4］ 陳友軍，何洪英.利用非線性規劃方法最優化灰色預測模型［J］.計算機工程與應用，2014，50(10):61-63.

［5］ 羅迪，馬新.基于Gauss－Legendre公式改進的煤炭產量灰色預測模型研究［J］.煤炭工程，2014，46(4):90-93.