一道試題的分析與思考

☉江蘇省海門中學 曹亞東

一道試題的分析與思考

☉江蘇省海門中學 曹亞東

一、考題

（本題滿分16分）如圖1所示，公路AM、AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tanα=-2.在該塊土地中P處有一小型建筑，經測量，它到公路AM、AN的距離分別為3km、km.現要過點P修建一條直線公路BC，將三條公路圍成的區域ABC建成一個工業園.為盡量減少耕地占用，問：如何確定B點的位置，使得該工業園區的面積最小？并求最小面積.

圖1

二、命題意圖

學生在學習直線與圓時，曾經做過這樣的題目：“在直角坐標系xOy中，已知點P（1，3），過點P作一直線l交x軸于點B，交y軸于點C，求△OBC的面積的最小值.”當初學生有三種解法，法1是設斜率k，求出B、C兩點的坐標，然后利用直角三角形的面積建立k為變量的函數；法2是設截距式，然后用基本不等式求解；法3是連接OP，把三角形的面積分割成△OBP、△OCP的面積和來求解.為了給高二出一道月考的應用題，決定把上面的原題改編成應用題，另外學生剛剛學習了橢圓，為了考查學生用解析法解題的首要任務就是建立恰當的直角坐標系，所以將y軸繞原點旋轉變成y=-2x，為了增加建系的難度，特意將O點改為A點，看看學生是否會選A點為坐標原點.

三、參考答案

解：如圖2，以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系.…2分

因為tanα=-2，故直線AN的方程是y=-2x.

設點P（x0，y0）.因為點P到AM的距離為3，故y0=3.

圖2

所以點P（1，3）.…4分

顯然直線BC的斜率存在.設直線BC的方程為y-3= k（x-1），k∈（-2，0）.

從而S有最小值15.

答：當AB=5km時，該工業園區的面積最小，最小面積為15km2.…16分

四、考試結果

全校900多人參加考試，從閱卷的情況來看，平均分為5.15分，12%的學生能完全做對，25%的學生建系不對，30%的學生不會求分式函數的最值，大大出乎筆者的意料.究其原因，主要存在以下幾個問題.

1.不會建模

受推導橢圓標準方程建系的影響，有15%的學生以AB所在直線為x軸，其中垂線為y軸來建系，因為AB的長度在變化，這樣建系的同學就全軍覆沒了.還有10%的學生以CB所在直線為x軸，點P為坐標原點來建系，同樣是CB的長度在改變，不容易求解.

2.忽視直線BC的斜率的取值范圍

因為要使直線BC與AM的交點在第二象限，斜率k必須滿足k∈（-2，0），若定義域都忽視了，方法哪怕正確結果也會出錯.

3.不會解模

讓人眼睛一亮的地方是學生有好幾種解法.法1：（求導）目標函數建立如同參考答案.

以下同參考答案.

法2：（二次函數）目標函數建立如同參考答案.時，S取得最小值15.

以下同參考答案.

法3：（方程有解）目標函數建立如同參考答案.

（1）在（-2，0）上有一解.

由f（0）=9＞0，得f（-2）＜0，但f（-2）=25＞0，應舍去.

（2）在（-2，0）上有兩解.

以下同參考答案.

法4：（基本不等式）.

如圖3，過點P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足分別為E、F，連接PA.設AB=x，AC=y（x＞0，y＞0）.因為P到AM、AN的距離分別為3、，所以PE=3，PF=

圖3

下同法4.

法6：（幾何法尋求約束條件）.

如圖2，以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系.設AB=m，AC=n（m＞0，n＞0）.用參考答案的方法求得P（1，3）.

下同法4.

盡管解法很多，但本質只有兩種.一是用解析法求面積的目標函數，轉化為求二次比二次型的分式函數最值，法1和法2是通法，法3不具有一般性，法4、法5較難想到.二是利用等面積法轉化為求多變量的最值.法6恰好采用解析法建模，然后轉化為求兩個變量的最值，可以消元來解，也可以利用基本不等式或柯西不等式來求解.

五、幾點思考

1.本題的難點之一在于建系

實際上用解析法解題的基礎就是如何建立適當的直角坐標系，適當兩字看似簡單，運用起來還是有講究的.很多學生受推導橢圓標準方程建系的影響，關鍵是沒理解橢圓的兩個焦點是定點，而這里的A、B兩點中B是運動變化的，因此在教學時如果我們能適時地強調兩者的區別，那么學生犯這樣的錯誤的機率就小了.

2.本題的難點之二在于解模

3.本題的易錯點在于忽視k的取值范圍

范圍問題是老大難的問題，為此我們要讓學生明白檢驗的重要性，既要檢驗所得結果是否適合數學模型，又要評判所得結果是否符合實際問題的要求.

總之，將實際問題抽象為數學問題時，要讀懂題目，建立數學模型，選擇合適的方法，設計合理、簡捷的運算途徑，這樣求出數學問題的解就不難啦！A