“聊摘”質疑

☉浙江省麗水學院附中 應嬌捷 陳偉華

“聊摘”質疑

☉浙江省麗水學院附中 應嬌捷 陳偉華

浙江省教育廳試行校本教材開發，麗水學院附中教師積極參與研發，開發出13門課程，發現學生對選修課興趣濃厚.為此，學校的校長與骨干教師反復推敲、研磨，確定數學拓展類選修課嘗試，以學生的問題為出發點，聯系數學文化，直觀觸動學生的敏感思維，在有趣活動中突破難點.下面是一次選修課的內容，與大家切磋，希望得到更多的指導.

一、基于學生問題選內容

基于學生的認識水平和數學現實及最大需求，顧及學生的認識需要，揉進數學史.本次選課的內容源于學生的問題：在執教“極限”知識點的時候，針對學生的疑慮組編“聊摘”質疑.

二、聊摘設疑

聊1：春秋戰國時期，在《莊子·天下篇》里記載著惠施關于數學的一些論說，如：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”

學生：老師，看得我云里霧里，更想明白其中的奧秘.

教師：我們從聊天室回到教室細聊.

三、聊活抽象概念

聊2：這則論說讓你感覺很暈？因為這是極限的思想，我們用數來解釋：設棰長為2，能用圖形表示取出的長度嗎？

圖1

學生體驗活動1：如圖1，對取出的長為1的線段二等分，取一份；對取出的長為的線段二等分，取一份；對取出的長為的線段二等分，取一份；如此類推，寫出取出的線段的長度.

學生體驗活動2：當n增大時，an接近于0；當n越來越大時，an很接近很接近于0；當n很大很大很大時，an很接近很接近很接近于0；…；當n無限增大時，an無限接近于0.記為：當n→+∞時，an→0.

圖2

聊4：如圖2，對取出的長為1的線段三等分，取一份；對取出的長為的線段三等分，取一份；對取出的長為的線段三等分，取一份；如此類推，被取出的線段請用數列表示，并表達出變化的趨勢.

學生體驗活動3：對應數列｛an｝為：….當n增大時，an接近于0；當n越來越大時，an很接近很接近于0；當n很大很大很大時，an很接近很接近很接近于0；…；當n無限增大時，an無限接近于0.

歸納數列極限的通俗定義：當n無限增大時，如果數列｛an｝的一般項an無限接近于常數a，則常數a稱為數列｛an｝的極限，或稱數列｛an｝收斂于a，記

聊5：如何用不等式來反映這兩個無窮變化過程？

學生體驗活動4：用“n≥N，N為正整數”表示n無限增大，用“|an－a|＜ε，ε為正小數”表示無限接近.

學生體驗活動5：無限趨近數量化得到數列極限的精確定義：設｛an｝為一數列，如果存在常數a，對于任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當n＞N時，不等式|ana|＜ε都成立，則稱常數a是數列｛an｝的極限，或者稱數列｛an｝收斂于a，記為：

聊6：你能舉出存在極限的數列嗎？

四、聊出思想方法的魅力

聊7：你能明白“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”了嗎？

學生體驗活動7（閱讀）：他用了逐漸逼近的思想方法.這種方法可以用直代曲，歷史上解決許多數學問題，如求圓的面積S.如圖3，劉徽考察圓內接多邊形.他先從六邊形做起，然后將六等份的每個弧段再對半分，結果生成圓的內接正12邊形，直觀上可以明顯看出12邊形更接近于圓周.重復弧段逐步對分的過程，即每分割一次內接多邊形的邊數增加一倍，如此下去，設內接正n邊形的面積為Sn，圓的面積為S*，則：S1表示圓內接正6邊形的面積，S2表示圓內接正12邊形的面積，S3表示圓內接正24邊形的面積，…，Sn表示圓內接正6×2n－1邊形的面積，顯然n越大，Sn越接近于S*.

圖3

由此可見，在劉徽的心目中，割圓是個割之又割的無限過程，是通向無窮之路.單從“割”來看還不足以顯示古代中國數學泰斗劉徽的大智慧，劉徽的真正亮點是圓面積公式的推導方法及圓周率的計算，我們將看到劉徽的光輝思想與晚他1000多年才提出的極限論是如此驚人的符合.在圖3中，劉徽定義線段GC為余徑，△ACB為余徑三角形，四邊形ADEB為余徑長方形，（S2n－Sn）為差冪，容易證明SADEB=2SACB，設|GC|=rn，|AB|=ln（|AB|為正n邊形的邊長，|AC|為正2n邊形的邊長），因此有：S2n=即2n邊形的面積可由n邊形的面積加余徑三角形的面積加以修正，于是S12=S6+累加便得圓的面積另一方面，如果將圖3中的四邊形ACBO的面積加上余徑三角形ACB的面積，即得多邊形ADEBO的面積，這個面積超出扇形AOB的面積，因此有：S2n+兩端都是極易計算的，而夾在它們之間的S*則是未知逼近公式，據此可以利用偏差來估計誤差|S2n－S*|＜|S2n－Sn|，這樣對于任意精度ε＞0，只要檢查計算數據S2n，一旦發現某個偏差|S2n－Sn|＜ε就獲知誤差|S2n－S*|＜ε.再注意到誤差是逐步遞減的，由此可以判定當n＞N時恒成立，從而｛Sn｝確實收斂于極限值S*.聯系19世紀中葉維爾斯特拉斯提出的ε-N說法：如果對于任給ε＞0，總可以找到這樣的下標N，使對一切n＞N：|xn－a|＜ε恒成立，則稱數列｛xn｝收斂于極限a，這就是劉徽（公元263年）割圓術中的極限思想.劉徽指出：“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”他計算到圓內接正192邊形的面積，從而求出圓周率π的近似值為3.14.有的學者認為劉徽曾算到圓內接正3072邊形的面積，得到π≈3.1416.劉徽的思想在其后南北朝時期祖沖之父子那里得以發揚光大，他們得到π的近似值在3.1415926～3.1415927之間.在西方是由德國的奧托和荷蘭的安東尼茲在16世紀末才得到的，都比祖沖之晚了約一千一百年，使我國古代數學大放異彩.在當時的條件下，這個計算量是相當大的，即使在今天用紙筆計算也絕不是一件輕松的事，何況古代計算還是用算籌（小竹棍）？這需要怎樣的細心和毅力啊！如今要實現中國夢，正需要這種嚴謹不茍的治學態度和不畏艱難的毅力，是我們最需要，也是最缺失的理性精神.

以上我們聊的劉徽割圓術等，正是把抽象的極限定義，還原到形象，把極限概念回歸生活的實際.同時讓學生明理，學會聯系實際.不妨讓我們再做一次試驗.

欲知后事如何，且聽下回分解.

1.羅增儒.教學效能的故事高效課堂的特征（續）［J］.中學數學教學參考（上），2011（3）.

2.文衛星.高中數學引言課［J］.中學數學教學參考（上），2011（11）.A