把握知識關聯問題求解自然
——函數視角下數列問題的合理解答

☉江蘇省丹陽市第五中學 王圣光

把握知識關聯問題求解自然
——函數視角下數列問題的合理解答

☉江蘇省丹陽市第五中學 王圣光

函數思想是高中數學中幾大重要數學思想之一，其貫穿于整個高中數學始終，數列問題也不例外，數列是定義在正整數集或其有限子集｛1，2，3，…，n｝上的函數，當自變量從小到大依次取值時，所得的函數值就構成一個數列.函數所具有的性質，如單調性、周期性、對稱性等在某些數列中同樣具有，如數列的通項公式an=f（n）（n∈N*），實質上就是函數的解析表達式，等差數列是定義在正整數集上的一次函數或常數函數；非常數等差數列的前n項和實際上是定義在正整數集上的二次函數，因此，可借助二次函數的性質和特點，解決其前n項和及其最值問題；非常數等比數列首項和公比均大于零時，可看成是定義在正整數集上的指數函數等.本文以2014年高考中的一道數列問題為例，就函數思想在數列問題中的應用展開探究.

題目（2014年高考重慶理科卷）設a1=1，an+1=

（1）若b=1，求a2，a3及數列｛an｝的通項公式.

（2）若b=-1，問：是否存在實數c，使得a2n＜c＜a2n+1對所有n∈N*成立？證明你的結論.

由題設條件知（an+1-1）2=（an-1）2+1.

從而｛（an-1）2｝是首項為0、公差為1的等差數列，故

下面用數學歸納法證明命題a2n＜c＜a2n+1＜1.

假設n=k時結論成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1.

易知f（x）在（-∞，1］上為減函數，從而c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，即1＞c＞a2k+2＞a2.

由f（x）在（-∞，1］上為減函數，得c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，故c＜a2k+3＜1，因此a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即當n=k+ 1時結論成立.

評析：本題解答中根據數列的特殊結構，構造出特殊的函數，進而將問題順利解答.函數的觀點，賦予了數列新的生命與活力，拓寬了數列的研究空間和生長點，因此，解答具體數列問題時，如果能夠站在函數的角度，高屋建瓴，充分利用函數的觀點來求解，則別有天地.

變化一、用函數的周期性，詮釋數列的遞變規律

例1已知數列｛an｝滿足則a20=（）.

解析：由a1=0，據遞推關系得…，呈規律性出現.

又20=3×6+2，所以a20=-√3.答案為B.

評析：本題通過對數列各項規律的探求，使得所隱含的周期性關系由“幕后”走到“前臺”，這樣在大大簡化解題過程的同時，也可以使學生進一步鞏固函數的性質，可謂“一石二鳥”，對提升學生解決綜合問題的思維能力大有裨益.

變化二、利用函數的單調性，靈活處理數列最值

例2（2013年高考新課標Ⅱ理科）等差數列｛an｝的前n項和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為________．

評析：本題考查等差數列的前n項和公式，以及通過轉化利用函數的單調性判斷數列的單調性等知識，通過尋找單調數列的條件，將問題轉化歸結為函數最值問題，再利用導數法判斷函數的單調性，求出最小值.

變化三、以二次函數為背景，展現數列的對稱性

例3Sn為等差數列｛an｝的前n項和，a1＜0，S9=S12，當Sn最小時，n的值為_________.

因為a1＜0，所以由二次函數的性質可知時Sn最小.

又n∈N，故n=10或11時Sn取得最小值.

解法2：因為S9=S12，所以Sn的圖像所在拋物線的對稱軸為直線

又n∈N*，a1＜0，所以｛an｝的前10項或前11項和最小.

評析：由于等差數列的前n項和公式是特殊的二次函數，具有對稱性，可以利用其解題.以上兩種方法都是運用了二次函數的圖像和性質，得到正確答案.

變化四、以函數知識為背景，提示數列本質

例4（2014年高考四川）設等差數列｛an｝的公差為d，點（an，bn）在函數f（x）＝2x的圖像上（n∈N*）．

（1）若a1＝-2，點（a8，4b7）在函數f（x）的圖像上，求數列｛an｝的前n項和Sn；

（2）若a1＝1，函數f（x）的圖像在點（a2，b2）處的切線在x軸上的截距為

（2）函數f（x）＝2x在點（a2，b2）處的切線方程為y-2a2＝（2a2ln2）（x-a2），其在x軸上的截距為

所以d＝a2-a1＝1.

從而an＝n，bn＝2n.

評析：在近幾年的高考題目中，以函數為背景的數列問題屢見不鮮，這種題目難度較大，故一直承擔著把關題的重任，解題中不應受知識本身的局限，要善于將所學知識橫向關聯，從數學的思想與方法中去尋求通性、通法，抓住問題的本質，實現知識的正遷移，在思維碰撞中尋求解題思路，即可將問題準確解答.A