由兩道高考數學真題解析引發的啟示與思考

☉江蘇省姜堰中學 李彥

由兩道高考數學真題解析引發的啟示與思考

☉江蘇省姜堰中學 李彥

高考是無形的指揮棒，牽動著千千萬萬個家長、教師、學生的心，高考試題的示范性與導向性影響著高中數學課程教學的發展方向和深度控制，處于一線的高三數學教師與學生一直加強對高考數學真題的分析與思考，筆者在探析各地高考數學試題的過程中，偶然發現兩道試題中部分問題的構思、情境創設、具體解析十分相似，由此也引發了不少啟發與思考，現呈現給大家共享，旨在拋磚引玉，希望能夠引起同仁們的進一步關注與思考，不當之處敬請批評指正.

一、基于兩道高真題的回顧與探析

例1（2013年陜西理科卷21題第2問）已知函數f（x）=ex，x∈R，設x＞0，討論曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m＞0）公共點的個數.

解析：根據題意令ex=mx2，即，則曲線y=ex與y= mx2的公共點的個數問題轉化為曲線與直線y=m 的交點個數問題；令，則存在u′（2）=0.當x∈（0，2）時，u′（x）＜0，則u（x）在（0，2）上單調遞減；當x∈（2，+∞）時，u′（x）＞0，則u（x）在（2，+∞）上單調遞增.可見，u（x）在（0，+∞）上的最小值為u（2）時，直線y=m與曲線（x＞0）無交點，即曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m＞0）無公共點；當時，直線y=m與曲線存在一個交點，即曲線y= f（x）與曲線y=mx2（m＞0）有一個公共點；當時，在（0，2）內存在m（ex＞1）；在（2，+∞）內存在x2=me2使得，由于em＞m，則u（me2）＞m，根據u（x）在（0，+∞）上的單調性可得：直線y=m與曲線y=存在兩個交點，即曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m＞ 0）有兩個公共點.

本題采用參變分離的思想，通過變形等價轉化為曲線與直線的交點問題，上述解析中運用了零點存在定理的思想進行解決，在特殊點的選取上可謂是精妙，但對于大部分學生而言，難以找準這些特殊值，在不等式的證明上，不僅要會運用放縮法，而且還要靈活運用ex＞x這一不等關系結論，能夠完整地實現這一詳細解析過程的學生少之甚少；在實踐中，多數學生都是直接給出m＞時存在兩個交點的結論，主要是這些學生忽視了判斷x→0+、x→+∞時u（x）的極值，由于目前高考對于極限部分沒有規定要求，學生對這方面的知識比較缺乏，即使部分學生已經意識到求u（x）的極值，但是沒有能力求解特殊極限值，被迫默認趨向于+∞，而這一想法恰恰和正確結論一致，但并不是所有的情況都是這樣的，下面我們來回顧江蘇省的一道高考試題，如下：

例2（2013年江蘇理科卷20題第2問）設函數f（x）= lnx-ax，g（x）=ex-ax，a為實數，若g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，試求f（x）的零點個數，并證明你的結論.

解析：根據題意得：g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，則ex≥a在（-1，+∞）上恒成立，則lnx-ax=0（x＞0），即則f（x）的零點個數問題轉化為直線y=a與h（x）的交點個數問題，由于，則當0＜x＜e時，h′（x）＞遞增；當x＞e時0）遞減；當x=e時，h（x）在x＞0上取得最大值為在0＜x＜，根據以上信息可以粗略地作出的函數圖像，如圖1，根據圖像得知：當時，直線y= a與h（x）有1個交點，即f（x）的零點有1個；當時，直線y=a與h（x）有2個交點，即f（x）的零點有2個.

圖1

本題處理問題的手段和方法與例1相似，題中確定交點個數的時候利用圖像的手段進行處理，在x∈（0，e）上，利用特殊點x=1（即y=0）結合單調性趨勢描繪出圖像，相對來說比較容易，但是對于x在（e，+∞）上圖像的描繪比較麻煩；其實欲想作出比較理想的圖像應該求函數h（x）在x→0+、x→+∞上的極限值，學生在例1中通過猜測恰好獲取了正確的結論，但是在本題中學生猜測x→+∞時y→0相對比較困難，實踐中學生出錯的現象較多.

二、從高等數學的角度思考高考試題的解析

上述例1和例2的解析中，我們不難發現當前學生運用現有知識解決問題的局限性，在x→0+的情況下，對于雖然高考沒有要求，平時數學教師介紹也少，但是多數學生還是可以解決的，但是對于x→+∞時，兩個函數都不是普通的極限問題，學生基本上是不會解決，陷入束手無策的尷尬境地；通過對u（x）和h（x）的極限情形進行分析可知：當x→+∞時，u（x）和h（x）的極限都屬于類型的特殊極限問題，極限值存在三種可能性（0、+∞、大于零的常數），從高等數學的角度出發，利用洛必達法則（若函數f（x）和g（x）滿足：（1）（2）在點a的某去心鄰域內兩者都可導，且g′（x）≠0；（3）可為實數，±∞），則）來處理此極限，顯得比較簡潔、方便.具體如下：這樣例1和例2中學生比較麻煩的問題就很快被解決了，而且過程簡潔、易懂.

三、高考真題探析中得到的啟示與思考

上述兩道高考壓軸題都涉及同樣的問題，命題專家的目的也許是認為采用零點存在定理與函數單調性相結合進行處理是合情合理的方案，這樣的試題并沒有超綱，在高中所學數學知識與能力的范圍內能夠處理，但在高考的浪潮中，作為許多那些希望進入名牌大學、重點大學的學生的數學教師而言，并不滿足上述的“繁雜”處理方式，勢必會在平時的高考數學復習中引入洛必達法則等這些高等數學的結論與定理，無形中會增加學生的學習負擔；當然，在高考數學試卷中出現高等數學雛形的案例已經不足為奇，在前幾年的高考試題中所出現的“拉格朗日中值定理、凸函數的判斷”等都是很好的例證；那么在高中數學課堂教學中是否要去追求這種“高等數學熱”？作為命題專家應該如何面對這一“敏感”問題？筆者提出了一些笨拙的見解如下：

全國各省市一直在追求“公平、公正、公開”的高考原則，各項制度越來越完善，每年都會編擬出臺各學科的《考試說明》，文中兩個案例從理論上講并沒有超綱，符合考試說明的要求，但在解答中，如果有學生利用高等數學的結論進行快速解題獲取準確的答案，似乎與高考考查學生能力的要求不相稱，存在著提前額外了解一些特殊的定理與結論，顯示能力較強的嫌疑，由于當前高考的至高地位和高考考題的示范作用，很有可能會導致在高中數學教學中出現追求高等數學熱的現象發生，可能會助長學生“投機取巧”不良習慣的養成，對于通過高考題來考查學生運用所學知識處理實際問題的真正能力方面有失公平，影響高考考題對高中數學教學在“度”上積極的指揮作用.

高考數學的命題應該注重多角度論證，避免擦邊球現象的發生，特別避免對于那些運用高中數學知識求解繁雜、困難，但是運用高等數學定理、結論解決比較簡單、方便、快捷的試題出現；從辯證唯物主義的角度來看，事情總是一分為二的，并不能說高等數學問題下嫁與高中數學教學都是弊端，但是為了避免可能對以后高考數學復習教學的影響，防止高中數學教學過分追求高等數學熱問題的出現，完全可以明確限制不允許運用高等數學中的相關定理或結論；在考查的形式上可以發生變化，不直接涉及高等數學現成的概念或定理問題，應該注重對新概念或定義的理解與運用的考查，這很好地體現了對學生實際運用能力的考查.

總而言之，高考試題一直是社會各界特別是高中教師和學生關注的熱點話題，高考試題的探究具有重要的現實意義，直接指引著高中數學教育教學方向的發展，影響高中數學教學重點與難點在“度”上的把握，這應該是我們一線高中數學教師應該關注的重要信息.F