關于一類雙曲線系的2個結論

●唐昊天 (復旦大學附屬中學 上海 200433)

關于一類雙曲線系的2個結論

●唐昊天 (復旦大學附屬中學 上海 200433)

雙曲線的弦長和雙曲線系問題在平面解析幾何中非常多見.筆者發現對于一類由平移變換形成的雙曲線系存在一個有趣的弦長問題，下面向讀者展示這個有關雙曲線系和弦長的性質.

圖1

圖1中，該種平移變換的幾何意義是使得雙曲線中心O先沿著坐標軸方向平移到點P(0,t)，然后點P再在根軸上運動.

性質1 平行或重合于平移雙曲線系根軸的直線截平移雙曲線系中所有雙曲線所得弦長相等.

先考慮當t=0時情形.

將直線方程和平移雙曲線系方程聯立，得

b2(x-m)2-a2(kx+n-km)2=a2b2,

展開得

(b2-a2k2)x2+(-2a2kn-2b2m+2a2k2m)x+

(b2m2-a2n2-a2k2m2+2a2kmn-a2b2)=0,

從而

Δ=(-2a2kn-2b2m+2a2k2m)2-4(b2-a2k2)·

(b2m2-a2n2-a2k2m2+2a2kmn-a2b2)=4(a2b4-a4b2k2-a2b2n2),

因此直線截每一條雙曲線所得的弦長(有弦長時)為

式中a,b,k,n取定時弦長為定值，故當t=0時結論成立.

性質2 截平移雙曲線系中所有雙曲線所得弦長相等的直線一定平行于平移雙曲線系根軸.

證明 反證法.

先考慮當t=0時情形.

將直線方程和平移系方程聯立，得

b2(x-m)2-a2(k′x+n-km)2=a2b2,

展開得

(b2-a2k′2)x2+(-2a2k′n-2b2m+2a2kk′m)x+

(b2m2-a2n2-a2k2m2+2a2kmn-a2b2)=0,

從而

Δ=(-2a2k′n-2b2m+2a2kk′m)2-4(b2-a2k′2)·

(b2m2-a2n2-a2k2m2+2a2kmn-a2b2)=4[a2b2n2+a2b4-a4b2k′2+2a2b2mn(k′-k)+a2b2m2(k′-k)2]，

對于當t≠0時的情況，仿照性質1的證明作相同坐標變換可得弦長仍然是關于m的多項式，不可能是定值.

由反證法，命題“截平移雙曲線系中所有雙曲線所得弦長相等的直線一定平行于平移雙曲線系根軸”得證.

下面的例題可以由上述性質解決：

解 雙曲線方程可化為

設滿足要求的直線方程為y=kx+n，由性質知k=2顯然成立.代入性質1，可得

通過以上性質，筆者證明了這樣一個有關雙曲線系的有趣的“弦長為定值”結論.實際上這個問題在圓、橢圓等曲線系中也存在類似的結論，有興趣的讀者可以自行探究.