吹盡狂沙始到金
——一道課本習(xí)題再創(chuàng)造的心路歷程

●陳定梅 (象山縣第三中學(xué) 浙江象山 315700)

吹盡狂沙始到金
——一道課本習(xí)題再創(chuàng)造的心路歷程

●陳定梅 (象山縣第三中學(xué) 浙江象山 315700)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑、探究、思考，要讓學(xué)生感受和體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，善于獨(dú)立思考，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)回歸課本，重視課本中例題、習(xí)題的再利用，恰當(dāng)運(yùn)用典型例題、習(xí)題進(jìn)行探索，促使數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法的縱橫溝通.本文是筆者與學(xué)生對(duì)課本習(xí)題再創(chuàng)造的一次心路歷程，與讀者分享.

1 選題：為有源頭活水來(lái)

對(duì)一堂高效的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課來(lái)說(shuō)選題是關(guān)鍵，課堂上選擇的例題應(yīng)該具有基礎(chǔ)性、典型性、延伸性、創(chuàng)造性和啟發(fā)性.這樣的例題從何而來(lái)?問(wèn)渠哪得清如許,為有源頭活水來(lái)——教材上的例題、習(xí)題都是經(jīng)過(guò)專家精心構(gòu)思、反復(fù)斟酌的，教材的習(xí)題看似平淡，卻寓意深厚，是復(fù)習(xí)課選題的源頭活水.

圖1

題目 如圖1，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點(diǎn)A,B，求證：OA⊥OB.

(人教版教材選修2-1第73頁(yè)第6題)

2 解題：橫看成嶺側(cè)成峰

波利亞說(shuō)：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練，掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.羅增儒認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都一無(wú)例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動(dòng).課堂上教師引導(dǎo)學(xué)生從多角度、全方位分析解題思路、探求解題途徑、發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律、掌握解題方法.橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同——一個(gè)想法，一種好解，一絲聯(lián)系，一點(diǎn)變化，都能給學(xué)生提供廣闊的思維空間.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),由條件得

因此OA⊥OB.

證法2 (斜率法：只需證kOAkOB=-1.)

證法3 (圓方程法：只需證以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.)

將O(0,0)代入滿足，故OA⊥OB.

證法4 (幾何法：只需證在△OAB中邊AB上的中線等于AB長(zhǎng)度的一半.)

可求得AB的中點(diǎn)為M(3,1)，則

證法5 (勾股定理法：只需證|OA|2+|OB|2=|AB|2.)

3 延伸：吹盡狂沙始到金

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗蘭登塔爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)活動(dòng)過(guò)程，學(xué)生應(yīng)該通過(guò)再創(chuàng)造來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這樣活動(dòng)的知識(shí)和能力才能更好地理解，而且保持長(zhǎng)久的記憶.以問(wèn)題為中心，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)命題進(jìn)行再創(chuàng)造，促使數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法的縱橫溝通.千淘萬(wàn)漉雖辛苦，吹盡狂沙始到金——學(xué)生被數(shù)學(xué)題的結(jié)構(gòu)美、對(duì)稱美、運(yùn)動(dòng)美深深吸引，享受著再創(chuàng)造帶來(lái)的快樂(lè)，真正體會(huì)到數(shù)學(xué)的奇趣和美妙！

1)改變條件中的定直線為動(dòng)直線，滿足怎樣條件的動(dòng)直線能使OA⊥OB呢？

y2-2pmy-2pn=0，

從而

y1+y2=2pm，y1y2=-2pn.

要使OA⊥OB，則

故n=2p.

定理1 過(guò)定點(diǎn)(2p,0)的直線與拋物線y2=2px交于點(diǎn)A,B，則OA⊥OB.

猜想1 過(guò)定點(diǎn)(n,0)(其中n>2p)的直線與拋物線y2=2px交于點(diǎn)A,B，則∠AOB為銳角(原點(diǎn)在以AB為直徑的圓外).

猜想2 過(guò)定點(diǎn)(n,0)(其中0

猜想3 過(guò)原點(diǎn)作互相垂直的2條直線與拋物線y2=2px分別交于點(diǎn)A,B，則直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0)(定理1的逆命題).

2)猜想3中的“過(guò)原點(diǎn)”改為“過(guò)拋物線上任意一點(diǎn)”，其他條件不變，直線AB是否還過(guò)定點(diǎn)呢？

圖2

分析 如圖2，設(shè)M(a,b)為拋物線y2=2px上的點(diǎn)，MA⊥MB,設(shè)直線MA的方程為

x=m1(y-b)+a.

同理可得

又由m1m2=-1，代入直線AB的方程

(yA+yB)y=2px+yAyB，

得

(m1+m2)(py+pb)=px+by-2p2+ap，

從而直線AB過(guò)定點(diǎn)(a+2p,-b).

定理2 過(guò)拋物線y2=2px上的點(diǎn)M(a,b)作互相垂直的2條直線，與拋物線分別交于點(diǎn)A,B，則直線AB過(guò)定點(diǎn)(a+2p,-b).

圖3

3)猜想4中的“拋物線”換成“橢圓”，其他條件不變，直線AB能否過(guò)定點(diǎn)呢？

(a2k2+b2)x2+2a2kdx+a2d2-a2b2=0，

代入kMAkMB=λ，得

(λa2-b2)d2+(2λa2km+2b2n)d+λa2k2m2+

λb2k2+a2b2k2-λa2b2-a2k2n2-b2n2=0,

從而

代入y=kx+d，得

4)在定理2的分析過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)m1+m2為常數(shù)時(shí)，直線AB不過(guò)定點(diǎn)，但斜率為定值.

分析 如圖2，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則

5)以上情況提供的條件都是“過(guò)曲線上的點(diǎn)作2條直線，與曲線交于2個(gè)不同的點(diǎn)”.聯(lián)想點(diǎn)在曲線外，保持結(jié)構(gòu)不變，過(guò)曲線外的點(diǎn)可作曲線的2條切線，若點(diǎn)在某條定直線上運(yùn)動(dòng)，2個(gè)切點(diǎn)的連線是否過(guò)定點(diǎn)呢？

分析 如圖4，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),在點(diǎn)A,B處的切線方程分別為

y1y=p(x+x1)，y2y=p(x+x2),

2條直線都過(guò)點(diǎn)M，從而

y1b=p(a+x1),y2b=p(a+x2).

直線AB的方程為by=p(x+a)，把a(bǔ)=mb+n代入得

b(y-mp)=p(x+n)，

因此直線AB過(guò)定點(diǎn)(-n,mp).

圖4 圖5

定理5 過(guò)直線x=my+n上的動(dòng)點(diǎn)M(a,b)作拋物線y2=2px(直線和拋物線沒(méi)有公共點(diǎn))的2條切線，切點(diǎn)為A,B，則直線AB過(guò)定點(diǎn)(-n,mp).

6)不難發(fā)現(xiàn)定理5的逆命題也是正確的，即過(guò)定點(diǎn)的直線與拋物線交于2個(gè)點(diǎn)，在這2個(gè)點(diǎn)處的曲線切線交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)在定直線上.

定理6 過(guò)定點(diǎn)M(a,b)的直線與拋物線y2=2px交于點(diǎn)A,B，在點(diǎn)A,B處的拋物線切線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P在直線by=p(x+a)上.

4 展望：路漫漫其修遠(yuǎn)兮

波利亞說(shuō)過(guò):沒(méi)有一道題目是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過(guò)充分地探討、總結(jié)，總會(huì)有點(diǎn)滴發(fā)現(xiàn).課后習(xí)題是教材的重要組成部分，“巧用課后習(xí)題，發(fā)揮課后習(xí)題的有效作用”是指導(dǎo)學(xué)生有效復(fù)習(xí)、構(gòu)建有效課堂、優(yōu)化課堂教學(xué)的有效方式.課本例題、習(xí)題設(shè)計(jì)嚴(yán)密，方法巧妙靈活，代表性強(qiáng)，再利用價(jià)值高，某些題目“一題多解、一題多議、一題多變、多題一解”可提高學(xué)生的發(fā)散思維和聚合思維，又能提高學(xué)生的解題能力.

俗話說(shuō)：傷其十指，不如斷其一指.在每一章每一節(jié)的學(xué)習(xí)中，積累一些典型題目并對(duì)其進(jìn)行研究，培養(yǎng)解題意識(shí)，能起到以一頂十的作用，這是將學(xué)生從“題海”中解脫出來(lái)的一種重要途徑.數(shù)學(xué)教師也要與時(shí)俱進(jìn)，不斷更新自身的教育觀念，時(shí)刻告訴自己：路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索！

[1] 鄒生書.課本習(xí)題潛能的挖掘與應(yīng)用[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2010(11):13-15.

[2] 陳定梅.再度解舊題 多方獲新知[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2002(11)：27-29.