功在通法 效在課堂
——一道中考題的教學與思考

●錢建華 (通州區興仁中學 江蘇南通 226371)

功在通法 效在課堂
——一道中考題的教學與思考

●錢建華 (通州區興仁中學 江蘇南通 226371)

中考復習課的重要性不言而喻，復習課的設計、例題的選擇是上好復習課的關鍵，而例題的解答又是提高復習課效率的重要保證.本文以一道中考壓軸題的解答為例，談談個人對中考復習課教學的一點思考.

1 考題展示及學生初解

題目 問題發現：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A,D,E在同一直線上，聯結BE，填空：

1)∠AEB的度數為______；

2)線段AD，BE之間的數量關系是______.

拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,點A,D,E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，聯結BE.請判斷∠AEB的度數及線段CM,AE,BE之間的數量關系，并說明理由.

圖1 圖2 圖3

(2014年河南省中招考試數學試題)

“問題發現”的第1)小題易通過“SAS”證明△ACD≌△BCE，從而AD=BE，∠BEC=∠ADC=120°，進而可得∠AEB=60°.“拓展探究”將等邊三角形改成了等腰直角三角形，與第1)小題類似，可得結論：∠AEB=90°.大部分學生做到這里就結束了，CM,AE,BE之間的數量關系出乎意料地幾乎無人正確解答，至于“解決問題”那自然是“無人問津”了．

2 受阻原因及正確解答

對于“解決問題”，雖然只要直接寫出點A到BP的距離，但是擺在面前的問題至少有2個：1)不會讀題、畫圖，不知道哪條線段表示點A到BP的距離，從而根本就無法求解；2)即使畫出了草圖，也看不出與第1)小題、第2)小題的聯系，想不到如何添加輔助線構造模型，從而無法求解.造成此時解題受阻的重要原因就是缺乏正確的思維方法，沒能將本題中3個問題由特殊到一般的內在聯系揭示出來，而是孤立地思考問題.筆者在教學時對這個看似“高不可攀”的壓軸題進行了畫圖分析、解法分析和總結通法3個方面的嘗試．

圖4 圖5

教師首先引導學生正確畫圖．由PD=1，可知點P在以點D為圓心、1為半徑的圓上．由∠BPD=90°，可知點P在以BD為直徑的圓上，因此點P是這2個圓的交點．而畫出這2個圓后發現顯然有2個交點，于是分2種情況(如圖4和圖5所示)．因為要求點A到BP的距離，所以需作出表示此距離的垂線段，即過點A作AM⊥BP，垂足為點M．

然后教師與學生一起分析了以下幾種解法.

2.1 利用解決第1)和第2)小題的活動經驗

2.2 構造全等三角形

因為PD=1，∠BPD=90°,所以BP是以點D為圓心、以1為半徑的圓D的切線，點P為切點．

第2種情況如圖7所示，同理可求得

圖6 圖7

2.3 利用勾股定理

2.4 利用雙直角三角形

圖8 圖9

3 教學癥結與解決策略

3.1 教學“定勢”與解決策略

不難想象，學生解決“拓展探究”的思維定勢多少受教師平時教學定勢的影響.特別體現在我們解決問題時總是按照習慣性的思路和方法去分析，這種習慣在與所要解決的問題思路恰好一致時能產生思維定勢的正遷移，有利于問題的解決，但如果這種習慣與所要解決的問題不同甚至相反時，就會產生思維定勢的負遷移，使解決問題陷入誤區[1].試想，我們在平時的教學中，對于判斷3條線段的數量關系不是2條線段之和等于第3條線段就是這2條線段的差等于第3條線段，有第3種關系嗎？幾乎沒有！就像我們要證明直線與圓相切一般都是“遇(圓上的)點連半徑證垂直”，幾乎沒有“無點作垂直證”一樣，因為我們平時所遇到的題目(包括中考題)基本上可以說是前者.這樣的教學當然會“固化”學生對解決該類問題的方法，束縛學生對該類問題的認識，最終弱化學生的思維.那么如何克服思維定勢的消極影響呢？

首先要加強概念的教學，明確概念的內涵與外延，使學生牢固掌握“四基”，以助于認清問題的本質.其次，不僅要讓學生掌握知識還要讓學生掌握方法，平時教學中多結合具體問題分析其中所蘊含是數學思想，不斷鼓勵學生發現問題，突破原有定勢，引導學生一題多解、一題多變，培養學生多角度、多方位發散地看問題.再次，注意收集、整理容易產生思維定勢的問題給學生訓練，讓學生對自己的錯誤產生深刻的認識，對自己形成較強的刺激,從而克服思維定勢的消極影響.

3.2 教學“誤區”與解決策略

讀題能力是學生必備的一種基本能力，而目前，許多教師在平時的教學過程中往往不夠重視，有時為了節約課堂寶貴的時間而代替學生讀題、“幫助”學生畫圖.殊不知教師在讀題時總是會對關鍵字或者關鍵關系加重語氣，這樣就能引起學生的注意從而“幫助”他們思考.同時教師“幫助”學生畫圖顯然會造成學生的依賴心理，不利于學生動手能力的培養，其結果是教師在前面講得口若懸河，有些學生上課自認為能聽懂，還有些學生在下面聽得云里霧里，遇到獨立解決的問題時還得“碰運氣”、“吃老本”以至于出現“這種題目我講了多少遍怎么考試還是錯”的情況.

數學讀題是一個包含認知、記憶、理解等多種元素的復雜的心理活動過程，是學生自主獲取知識的一種學習過程，它不僅僅是讀的過程，而且是動口、動手、動腦的有機結合和統一協調的過程.數學教師要認識到學生獨立讀題的重要性，從而更有效地培養學生自主讀題的意識和能力.上課過程中有意識地給學生傳授讀題的方法，如邊讀邊在重點條件上做著重標記、邊讀邊將相關條件“翻譯”成通俗用語、邊讀邊將相關已知條件在圖形中標出，放手讓學生自己去讀懂題、學會讀題.不僅如此，還要讓學生明白讀題是解題的基礎，讓學生尤其是后進生感到他們能通過讀懂題成功地解決一些問題，激發學生學習數學的興趣，從而提高學生的數學能力.

3.3 教學“軟肋”與解決策略

習題講評是初三數學復習一種最常用的授課形式.好的習題講評既能復習鞏固基礎知識、基本技能、基本方法及基本活動經驗，又是對知識進行梳理、整合、再運用的過程，也是師生共同探討解題通法、提煉數學思想、優化思維品質的重要舉措.但在平常的初三數學復習課中“就題論題”往往是最常見的，談不上一題多解，更談不上解決問題以后的優化提升及反思，久而久之學生思維受到嚴重束縛，遇到不同問題時根本不會思考.本該高效的習題講評結果成了初三復習教學的“軟肋”.如何激發學生的思維，使學生學會思考，使初三數學習題講評更高效呢？

作為數學教師，首先不僅要明確所講問題有幾種解法，而且要清楚本題哪一種解法最適合，適時引導學生探求一題多解，并對方法作比較，從中挖掘通性通法而不是注重解題技巧.通過對問題多種解法的思考、比較，學生的學習興趣將大大增強，思維能力將得到有效提升；其次，要引導學生對數學學習過程進行反思，要給學生時間反思自己在解決問題時何處思維受阻、哪里出現過錯誤，解決問題后啟發學生總結解題思路，提煉數學方法，揭示問題本質，提升解題能力，進而不斷生成智慧.通過解題后的反思，將會形成層次更高的經驗，為進一步學習解決問題的最優化作準備[2].長此下來，學生的數學素養自然得到提升，也有利于學生今后的終身發展，這樣的初三數學習題講評效果應是我們所不斷追求的.

[1] 莘義成.未曾預約的精彩[J].中學數學教學參考:中旬，2015(3)：71-72.

[2] 錢建華.注重方法形成過程 促進課堂智慧生成[J].中學教研(數學)，2014(11)：28-30.