還能往方程里面走走嗎

李幫魁

一、天平模型強(qiáng)力支撐

在認(rèn)識(shí)方程的教學(xué)過程中體現(xiàn)方程思想有兩個(gè)問題需要關(guān)注：一是如何讓學(xué)生依據(jù)等量關(guān)系寫出等式，二是學(xué)生在寫等式時(shí)怎樣才能把未知量當(dāng)作已知量。由于學(xué)生受到長達(dá)四年的小學(xué)算術(shù)思想影響，形成強(qiáng)烈的思維定勢(shì)，因此很容易出現(xiàn)用算術(shù)方法求未知數(shù)解法。為解決學(xué)生這一認(rèn)知矛盾與困難，吳老師以天平模型引領(lǐng)學(xué)生從直觀上感悟等量關(guān)系，由此生成關(guān)系表達(dá)式，為建構(gòu)方程的概念奠定厚實(shí)的背景經(jīng)驗(yàn)。

【教學(xué)片段一】

教師出示天平圖片：天平可以表示什么？（平衡、傾斜）

1.在天平兩端都放50 g的砝碼，能用式子表示嗎？一端放50 g的砝碼，另一端放30 g的砝碼。

師：用式子表示，請(qǐng)寫在紙條上。

生：50=50，30<50。

2.在天平一端放1根香蕉、一個(gè)30 g的砝碼，另一端放50 g的砝碼。

師：這時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況？請(qǐng)用式子記錄在紙條上。

學(xué)生寫出：x+30=50，x+30>50，x+30<50。

3.在天平一端放1粒120 g的蘋果、1根180 g的香蕉，另一端放300 g的砝碼。

師：能用式子表示嗎？

生：120+180=300。

4.在天平一端放1粒蘋果、1根180 g的香蕉，另一端放300 g的砝碼。

師：天平會(huì)怎樣？

學(xué)生表示：180+x=300，180+x>300，180+x<300，180+□=300，180+蘋果=300……

5.在天平一端放3粒蘋果，另一端放300 g的砝碼，天平平衡。

師：會(huì)記錄下來嗎？

學(xué)生記錄：x+x+x=300，3x=300。

【賞析】吳老師在上述教學(xué)過程中五次以天平圖和動(dòng)作意象為載體，讓學(xué)生展開觀察與分析，要求學(xué)生只是描述數(shù)學(xué)問題事件，淡化學(xué)生求解未知量的意識(shí)，為未知量等同于已知量參與運(yùn)算提供思維前提和條件。在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方式表達(dá)、記錄這些表示關(guān)系的式子，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供了豐富的研究素材。由于學(xué)生在天平模型支撐下對(duì)等量關(guān)系體驗(yàn)認(rèn)識(shí)充分，為深刻理解“用未知數(shù)表達(dá)相等數(shù)量關(guān)系”這一方程本質(zhì)積累了豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，為最終形成“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系”的深刻認(rèn)識(shí)積淀了厚實(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

二、完整經(jīng)歷建模過程

學(xué)生對(duì)于方程的認(rèn)識(shí)過程就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程，如何讓學(xué)生有效地建構(gòu)這個(gè)數(shù)學(xué)模型？吳老師在這節(jié)課中讓學(xué)生充分經(jīng)歷建模過程。在前面的觀察、想象天平的活動(dòng)中，學(xué)生感知了相等和不等量的關(guān)系現(xiàn)象，并引出了數(shù)量豐富的表達(dá)式，這是學(xué)生數(shù)學(xué)建模的開始。在大量積累方程背景知識(shí)的基礎(chǔ)上，教者引導(dǎo)學(xué)生以分類的方式對(duì)天平不同情況的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行分類，建構(gòu)起清晰的方程模型。

【教學(xué)片段二】

師：我們剛才記錄的時(shí)候有幾種情況？分幾類？

生：天平有平衡和傾斜兩種情況，可以分兩類。

師：挪動(dòng)黑板上的紙條，分分類。

學(xué)生在黑板上挪動(dòng)紙條。

等式：50=50，x+30=50，120+180=300，180+x=300，x+x+x=300，3x=300，180+□=300，180+蘋果=300。

不等式：30<50，x+30>50，x+30<50，180+x>300，180+x<300。

師：你還可以把等式進(jìn)一步分類嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考后交流分類的方法。

含有未知數(shù)的：x+30=50，180+x=300，x+x+x=300，3x=300。

不含有未知數(shù)的：50=50，120+180=300。

學(xué)生沒動(dòng)180+□=300，180+蘋果=300兩個(gè)式子，吳老師把它們放在旁邊。

引導(dǎo)學(xué)生圈出等式，再圈出和以往不一樣的等式。

師（手指著含有未知數(shù)的等式）：這些等式叫作方程。大家說一說，什么是方程，對(duì)方程有什么感覺？

生：一個(gè)未知數(shù)，一個(gè)已知數(shù)，相加等于一個(gè)數(shù)，

是方程。

師：只能相加嗎？

生：加、減、乘、除都可以。

生：180+□=300，180+蘋果=300是方程嗎？

生：應(yīng)該是，因?yàn)椤啊酢焙汀疤O果”都是不知道的未知數(shù)。

【賞析】上述教學(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了兩次分類：第一次分為等式和不等式；第二次把等式分為含有未知數(shù)和不含有未知數(shù)的，從而得出方程概念的意義。這一環(huán)節(jié)與“片段一”融合為一體，加上課尾現(xiàn)實(shí)情境中用方程解決問題的環(huán)節(jié)，完整地呈現(xiàn)出了“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)建模的全部過程，有利于學(xué)生在這個(gè)過程中理解、感悟模型思想的本質(zhì)，更有利于促進(jìn)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角去發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

三、多走一步深度感悟

當(dāng)學(xué)生以天平模型為載體完整經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模過程，得出了方程概念后，吳老師沒有提及和強(qiáng)調(diào)教材中“含有未知數(shù)的等式叫作方程”的描述性定義，而是引導(dǎo)學(xué)生在“運(yùn)用與解釋”中逐步窺視方程的本質(zhì)內(nèi)涵。

【教學(xué)片段三】

1.課件出示情境圖片（圖1），并附有文字說明。

師：請(qǐng)大家喚起心中的天平，用式子表達(dá)出來。

生：2x+20=2000。

生：（2000-20）÷2。

師：哪個(gè)是方程？

生：2x+20=2000。

師：（2000-20）÷2是你們熟悉的，它與2x+20=2000有什么不同？

生：方程是把不知道的和知道的，通過天平表達(dá)出來。（2000-20）÷2是從知道的一步一步求出不知道的。endprint

2.教師出示圖2。

師：能求什么呢？請(qǐng)寫下來。

生：①3x+5=65，②（65-5）÷3，③（65-5）÷3=x。

師：哪些是方程？

生：①和③。

生：③還是以前的思路。

師：方程和以前的有什么不一樣嗎？

生：方程有未知數(shù)。

師：只是未知數(shù)嗎？還能往里邊走一走嗎？

生：以前是從已知數(shù)求出未知數(shù)，方程是把不知道的和知道的一起變成等式。

教師隨手在黑板上畫一條河：就好像有一條小河，我們站在河的這邊，對(duì)岸有一顆寶石，我們要怎樣拿到對(duì)岸的寶石？

生：從岸邊出發(fā)，摸著石頭一步一步地走到對(duì)岸拿到寶石。

師：這就好比以前的數(shù)學(xué)方法，從已經(jīng)知道的一步一步地去拿到寶石。還有其他方法嗎？

生：用繩子拴住拉過來。

師：用一根繩子拴住對(duì)岸的寶石，然后順著繩子拿到寶石。就好像方程一樣，把不知道的和知道的建立等式關(guān)系，寫出方程，再求出未知數(shù)。兩者目標(biāo)一樣，思考方式不一樣。

生：相等的關(guān)系就是繩子……

【賞析】吳老師所采取方法充分暴露了學(xué)生的認(rèn)知，先是在異同比較上凸顯方程的本質(zhì)，當(dāng)學(xué)生在“水壺倒水”的問題中出現(xiàn)“2x+20=200，（200-20）÷2”兩種不同思維的式子，以及在圖2的表達(dá)中出現(xiàn)“3x+5=65，（65-5）÷3，（65-5）÷3=x”三個(gè)不同表達(dá)式時(shí)，在結(jié)合具體事例背景的對(duì)比中，使學(xué)生生成“以前是從已知數(shù)求出未知數(shù)，方程是把不知道的和知道的一起變成等式”的認(rèn)知。其次是以事例類比促領(lǐng)悟，當(dāng)學(xué)生在上述比較中對(duì)方程的本質(zhì)內(nèi)涵有理解但又無法表達(dá)時(shí)，吳老師及時(shí)以“拿到河對(duì)岸的寶石”的事例進(jìn)行類比，通過對(duì)取寶石不同途徑的分析，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟“兩者目標(biāo)一樣，思考方式不一樣”。體現(xiàn)了“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系”與“方程概念的核心是要‘求未知數(shù)”的本質(zhì)內(nèi)涵。

“還能往方程里面走走嗎？”這句話是吳正憲老師在執(zhí)教“認(rèn)識(shí)方程”一課時(shí)，在課前與課中對(duì)聽課教師和學(xué)生提出的思考。大師智慧的課堂教學(xué)實(shí)踐告訴我們，教師和學(xué)生都可以向方程本質(zhì)內(nèi)涵里面走一走，多走一步便能為學(xué)生多開一扇窗，學(xué)生由此可以看到更多的風(fēng)景。正如吳正憲老師所說：“有時(shí)候在課堂上‘多喘半口氣兒，多走一步就有可能觸摸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。”

（作者單位：重慶市沙坪壩區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院 責(zé)任編輯：王彬）endprint