一道高考題的解法引發的思考

2009浙江文科高考題第21題：已知函數f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）。

（1）略;

（2）若函數f（x）在區間（-1，1）上不單調，求a的取值范圍。

解：①略;②函數f（x）在區間不單調，等價于導函數f ′（x）在（-1，1）既能取到大于0的實數，又能取到小于0的實數即函數f′（x）在（-1，1）上存在零點，根據零點存在定理，有f'（-1）f ′（1）<0，即[3+2（1-a）-a（a+2）][3-2（1-a）]-a（a+2）<0;整理得：（a+5）（a+1）（a-1）2<0，解得-5

解答過程正確與否，先不考慮。就結果而言，是否正確？不妨代一個特殊植驗證一下：令a=0，得f（x）=x3+

x2+b，只需要討論f（x）=x3+x2+b在區間（-1，1）上的單調性即可。f ′（x）=

0得：x=0或x= " " " "都在區間（-1，1）內，因此，a=0時也滿足條件。說明參考答案不正確。

接下來，分析一下為什么。“函數f（x）在區間（-1，1）上不單調”

f（x）=0在區間（-1，1）內至少有一個實根。參考答案只給出了區間內有一個實根的情形，忽略了有兩個不相等的實根這一情形。因此，過程補充如下：

△>0

-1> " "<1 " " "-1

f′（-1）>0

f′（1）>0

綜上所述：a的取值范圍是a∈（-5， ）∪（ " ，1）。

根據上述解題過程中判別式恰好是完全平方式，判斷導數f ′（x）可以

分解因式。從而產生解法二：f ′（x）=

3x2+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）（3x+a+2）

由f ′（x）=0得：x1=a，x2=- " " "根據題意：

f ′（x）=0在區間（-1，1）內至少有一個實根。

a≠- " " " " " " " "a≠-

-1

解得：a∈（-5，- "）∪（- " ，1）

感悟：對于三次函數在給定區間（a，b）上存在極值或者不單調的問題，都能轉化為f ′（x）=0有兩個不相等的實根，且在區間上至少有一個實根，進而求參數的取值范圍的問題。解決這一類問題，首先要觀察，能否分解因式。

（1）如果能分解因式，即可得到f ′（x）=0的兩根x1，x2。接下來，把問題轉化為解不等式組：

x1≠x2 " " " " " " " " " " " "x1≠x2

a

（2）如果不能分解因式，有時也采用分解因式的思路利用一元二次方程的求根公式得到f′（x）=0的兩根x1，x2。再把問題轉化為解不等式組：

△>0 " " " " " " " △>0

x1≠x2 " " " " " " " " " " " "x1≠x2

a

例如，（2011年文科全國II）已知函數f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x+12a-4（a∈R）。

（1）略;

（2）若f（x）在x=x0處取得最小值，x0∈（1，3），求a的取值范圍。

由f ′（x）=0得x2+2ax-1-2a=0;

①當- " "2 "-1≤a≤ 2 -1時，f（x）沒有極小值;②當a> " 2 "-1或a-

2 "-1時，由f ′（x）得：

x1=-a " a2+2a-1，x2=-a+ a2+2a-1

故x0=x2。由題設知1-a+ " a2+2a-1<

3，當a> " 2-1時，不等式1<-a+

a2+2a-1<3無解;

當a< - " 2 "-1時，解不等式1<

-a+ " a2+2a-1<3得- " "

綜合①②得的取值范圍是（- " " ，

- " 2-1）。

（3）分類討論：情形一：f ′（x）=

0有兩個相異實根且在區間（a，b）上恰有一個實根 " " f ′（a）f ′（b）<0;

情形二：f ′（x）=0在區間（a，b）上有兩個相異實根，記y=f ′（x）的對稱軸為x=m，則原命題

△>0

a

f ′（a）>0

f ′（b）>0，求兩種情形的并集得到結果。

（4）區間端點的導數值或者導數值的符號確定，可以確定f ′（x）=0的跟的個數，省去分類討論的過程。

（5）討論f ′（a）和f ′（b）的符號，如果能確定其中一個或兩個的符號，也可以確定區間上根的個數，然后轉化為不等式求解。

例如，函數f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x+12a-4（a∈R）

（1）略;

（2）若f（x）在x=x0在區間（1，3）至少有一個實根，且較大的實根一定在區間內。根據前文的分析，當f ′（x）=

0在區間（1，3）恰好有一個實根，則必須有f ′（1）<0，f ′（3）>0。而實際上f ′（1）=6>0恒成立，所以，f ′（x）=0在區間（1，3）有兩個不相等的實根，則

△>0

1<-a<3，a∈（-1 ，-1-2）

f ′（3）>0

在處理同類型的問題時，從以上幾個方面為切入點，尋找突破口，快速、準確的完成解題過程。

（作者單位：甘肅省嘉峪關市第一中學）