從師生對話中比出課堂教學的實效性

課內比教學活動正如火如荼的開展。近來，筆者也參與到一些學校的數學教學研究活動中，發現每位教師在比教學活動中都要經歷三個階段：第一階段是每位教師講一節公開課，大家各抒已見，從課堂教學的諸多方面進行評價，提出了改進意見;第二階段是揚長避短，講一節改進課，課后談自己在哪些環節改進了，哪些環節境處理得還不理想，甚影響了教學效果;第三階段是每人將本人和他人的課堂教學的得與失進行反思總結，并在教研會上交流。通過以上三個階段的“比教學”活動，老師們總結出了一些好的經驗、好的作法，并在全組推廣;當談到不足時，大家較多地談到的是，課堂教學的實效性不夠。具體來說就是，師生之間的溝通不十分融洽、不順暢。一方面，往往是老師希望學生回答的問題，學生要么答不出來，要么答非所問，以至于有的老師埋怨學生太笨，不與老師配合等等;另一方面，學生希望老師解釋的地方，教師的教學安排又不到位，甚至在“不經意間”扼殺了學生有價值的思維，挫傷了學生深入思考問題的熱情，這兩方面必然影響課堂教學的實效性。

筆者認真整理了這次“比教學”活動的相關資料，通過比較、分析發現，一方面，有的教師在“師生對話”中欠考慮，急“功”近“利”，忽視學生主體地位，出現了模式化、生硬的“交”而不“流”的師生對話局面;另一方面，我們欣喜地看到，有的老師注重“師生對話”的設計，把課堂上師生之間的交流設計得應景應情，使學生感受到學習數學是那樣的快樂，是那樣的充滿期待，是那樣的啟迪人的智慧……

下面是兩位老師上同一節復習課的“三角公式的靈活運用”中，師生對話的情況：

一、甲教師與學生的課堂對話

T：請大家先默寫常見的三角公式，再做下面的題目（投影在黑板上）

觀察下列各等式：

sin30°+cos60°+sin30°cos60°=①

sin20°+cos50°+sin20°cos50°=②

sin15°+cos45°+sin15°cos45°=③

分析上述各式的共同特點，寫出能反應一般規律的等式，并對等式的正確性作出證明。

S1：三個等式的右邊等于同一個常數

S2：一般規律：sinα+cosβ+sinαcosβ=

T：α、β之間有何關系

S2：任意角r

S3： β=2α或β=3α

T：證明一下你找到的等式

S：多數學生相互看看，無語。

T：（A老師有點急，還沒等學生回答），老師又說：顯然β=α+30°，對這三個等式都成立嗎？現在你們證明，一會找同學演板。題中的兩個角難道只有倍數關系嗎？想一想還有別的關系否？（老師巡視一圈后，發現S4做得比較簡捷，就讓其演板）

S4： sinα+cosβ+sinαcosβ=（其中 β=α+30°）

證明：左邊= "sinα+cos（α+30°）+sinαcos（α+30°）

= "sinα+（cosα-sinα）+sinα（cosα-sinα）

=sinα+cosα+sinα-sinαcosα+ sinαcosα-sinα

=（sinα+cosα）=

T：S4同學公式選取恰當，計算準確，大家應該向他學習，我們再來練一組題，看哪些同學能認真觀察，靈活運用三角公式。

證明：（1）sin10°+cos70°+cos80°sin20°=

（2）cos10°+cos50°-sin40°sin80°=

（3）sin21°+sin24°+sin21°sin24°=

（4）cos78°+sin18°+cos72°sin12°=

（過了幾分鐘，（1）題都證明出來了，后3題基本上沒什么同學能做出來，這時老師又急了）

T：這四題中對于兩個都是余弦的，可以化成它的余函數，變成了S4同學做的形式。

（2）中cos10°=sin80°=sin（50°+30°）

（3）中sin24°=cos66°=cos（21°+45°）

（4）就不用說了吧。

好，下面大家認真地把這幾題做在作業本上。

S5：（一位不大聽講的學生，見老師布置作業了，就慢慢地舉起了手）

T：你有什么問題？

S5：我總結了一下，這樣的題目 還是有規律的：當cos（β-α）=-時，sinα+sinβ+sinαsinβ就等于1-

T：（遲疑了一下說）大家再驗證一下S5的結論，一定要把上面的題做好。（學生中又是一片寂靜）

二、乙教師與學生的課堂對話

T：請大家想一想，你有哪些三角公式“不熟悉”，查一查，記一記

（筆者看到有的寫二倍角公式、升降冪公式、和差化積與積化和差公式）

T：同學們，高考的許多試題都是由課本例、習題改偏的，大家要通過做課本上的例、習題，弄清如何恰當的選取公式，準確地進行求值、化簡與證明。特別要注意體會其中蘊涵的數學思想方法，請大家打開課本必修四，看P138頁第3題（見處）后，說說你對此題的理解。

S1：①三個等式的右邊都等于同一個常數;②式中角之間有2倍關系;③式中無明顯特征; "④式中角之間有3倍關系;⑤每一項的“系數都是1”。

T：若孤立的看②，正如S1同學所說，但①②③放在一起觀察，有什么共同特點呢？

S2：其中一個角比另一個角大30°

T：請寫出具有一般規律的等式

S2：sinα+cos（α+30°）+ksinαcos（α+30°）=

S3：sinα+cosβ+sinαcosβ= ，其中β=α+30°

T：S2與S3的結論有區別嗎？哪一個好些呢？

S：（齊）S2的結論好。

T：是嗎？

（見教師沒肯定同學們的意見，大家又在比較）

S4：S3的結論有一般性，而S2同學的結論是S3中把β=α+30°代入得到的。

T：S4同學注意到了事物的特殊性與一般性，非常好的思維品質，請大家回過去再看一下，S1同學在回答共同特征時，找到了各項系數都是1的特征，這對解答本題有用嗎？

S：（齊）沒用。

T：若換在其它題目中，這種全面考察問題的意識，也是可貴的

（教師巡視后，讓幾個證法不同的同學演板）

S5：同

S6：證明：左邊=（sin10°-sin50°）-sin10°sin50°

=（2sin30°cos20°）+（cos60°-cos40°）

=cos20+-cos40°

=（1+cos40°）+-cos40°=

S7：證明左邊=sin10°（cos80°+cos40°）+cos40°

=2sin10°cos60°cos20°+（1+cos80°）

=（sin30°-sin10°）++sin10°=

T：請大家對三位同學的解答進行一個評價

S8：S5同學的解答用了常見公式，簡單明了。

S9：S6與S7兩位同學的解答，是用的和差化積與積化和差公式

T：三位同學的證法都值得肯定。S6與S7兩同學的解答是把我們熟知的等式a+b+ab=（a+b）-ab，a+b+ab=a（a+b）+b遷移到三角的變形中，使知識之間產生了橫向聯系，這正是我們復習課要達到的效果。

T：我們再對這個題進行反思，關于的三角函數式是怎樣被消去的呢？據此你可否編出類似的等式來嗎？

S10：β=α+30°，30°是特殊值，我編了一題，sin13°+cos32°+sin13°cos32°但結果不是常數。

S11：我注意到S5的解答過程中，兩同類項系數互為相反數的特點，我編了兩題：sin27°+cos33°-sin27°cos33°=，

sin23°+sin68°-sin23°sin68°=

T：很好，看來你和S1同學一樣，具有全面觀察事物的品質，那么，在這類等式中，角、函數、系數之間滿足怎樣的關系才可以得到一個定值呢？

S11：在p=sinα+sinβ+ksinαsinβ中，若cos（β-α）=-時，

p=1-

S：妙呀！（大家爭先恐后的編題，驗證起來……）

至此，B老師只示出中的（3）（4）題讓同學們證明后，寫出規律，很快，有學生寫出，若cos（α+β）=，則sinα+sinβ+ksinαsinβ=1-。

三、對兩位老師的“師生對話”作比較

甲老師（1）在課堂教學的各個環節中，對學生提出的要求不能切實現場學習情況，當學生遇到困難時，沒能很好地組織語言去引導學生，分析、聯想、推理，使之逐步接近問題的答案，而是忽視學生主體地位，急于把結論告訴學生;（2）不善于給學生展現思維過程的機會，一個問題，只要有同學答上來，就往下推進，不顧大面積的學生還沒有弄清知識的來龍去脈的現狀，急“功”近“利”。（3）忽視課堂中師生對話的設計，與學生“交”而不“流”，學生總結的規律，已經十分接近正確答案了，而教師的回答實屬無奈，很明顯，甲老師在備課時，只想讓學生模仿例題會解答后面的四個題目就行，當學生的思維走到老師前面時，老師只剩搪塞了，這樣的課堂“交流”，是老師沒有設計好“交”，怪不得全班同學不與老師一塊“流”了。