分類討論思想在高中數學解題中的應用

【摘 " "要】分類討論思想是數學思想方法中重要的方法之一，并且貫穿于整個高中數學，也是每年高考的必考內容，在高考中占有很重要的比例，也是每年高考的熱點。本文依次闡述了對分類討論思想的理解、分類討論的標準以及分類討論的原則，并通過重點舉例說明分類討論思想在集合、函數、解不等式、數列、排列組合與概率、圓錐曲線、實際問題中的應用.旨在于讓高中學生明確分類討論思想在哪方面有著相關的應用，對于提高解題效率，增強學習效果，鍛煉學生邏輯思維能力有著很重要作用。

【關鍵詞】分類討論思想 "分類原則 "概率交匯 "圓錐曲線

我國關于數學思想方法的提法最早出現是在上世紀70 年代，數學思想方法的重要性基本上是由低級到高級過程的逐步加以體現，我國早期關于數學思想方法的研究還是相對較少，絕大部分的研究是從二十一世紀才開始的，雖然這幾年涌現了一些新的研究成果，研究的層次也在不斷深入，然而，數學思想方法的實踐和探索還處在一個嶄新的階段;對分類思想方法的研究相對比較薄弱，還沒有形成較為成熟的研究模式或理論體系，分類討論思想作為數學思想中的一種重要的思想方法，在高考中占有重要的比例。從近幾年高考學生的答題情況來看，有關分類討論的題得分率很低，學生出錯往往是因為不知道何時、為何分類，在分類過程中存在重復與遺漏現象，通過研究分析相關文獻資料，我發現關于數學分類討論的思想方法的相關論文大多數都是結合例子的形式出現，因此，本文將在前人研究的基礎上，進一步從分類討論思想在集合、解不等式、函數、數列、排列組合與概率、圓錐曲線、實際問題方面淺談自己對分類討論思想的理解和在解題中的應用。由于分類討論是具有較高的邏輯性及很強的綜合性，有利于提高學生對學習數學的興趣，培養學生思維的條理性，縝密性，科學性，有關分類討論的題目具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性的特點，難度有易，有中，也有難，題型可涉及任何一種題型，知識領域方面，可以“無孔不入”地滲透到每個數學知識領域，因此探討分類討論思想在高中數學解題中的應用是具有實際意義的。

1. 分類討論思想概述

1.1簡述分類討論思想

在解題時，我們常常遇到這樣的一種情況，解到某一步之后，不能再以統一的方法，統一的式子繼續進行了，因為這時被研究的問題可能包含了多種情況，這就必須在條件所給的總區域內，正確劃分若干個子區域，然后分別在多個子區域內進行解題，這就是分類討論的思想方法.分類思想是以概念的劃分，集合的分類為基礎的思想方法，這里集中體現的是由大劃小，由整體劃為部分，由一般化為特殊的解決問題的方法，其研究方向基本是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們總合在一起，這種“合-分-合”的解決問題的過程，就是分類討論的思想。

1.2分類討論的標準

分類也叫劃分，是根據對象的相同和差異點將對象區分為不同種類的基本的邏輯方法，數學中的分類，按照數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的一種思想方法.分類以比較為基礎，通過比較識別出數學對象之間的差異點，然后根據相同點將數學對象歸并為較大的類，根據差異點將數學對象劃分為較小的類，從而將數學對象區分為具有一定從屬關系的等級系統。

一般地，在集合A上討論某一數學問題時，可根據某個標準P，把A劃分為子類，這時，在上實施對問題的討論等價于在A上實施對問題的討論，把P就叫做分類討論的標準。

例如，對方程及來說，判斷方程實根的情況其分類討論的標準是還是還是，這時我們可以簡單的說按分類。

又如，討論函數的單調性，其分類討論標準是還是，可以理解為按分類。

又如的值，其分類討論標準可確定為是奇數還是偶數，并可簡單的認為按分類。

1.3分類討論的原則

（1）同一性原則

分類應按照同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類根據.可以通過集合的思想來解釋，如果把研究對象看作全集，是的子集并以此分類，且，則稱這種分類（）符合同一性原則。

（2）互斥性原則

分類后的每個子項應當互不相容，即做到各個子項相互排斥，分類后不能有些元素既屬于這個子項，又屬于另一個子項.即對于研究對象，是的子集，且作為分類的標準，若，則稱這種分類符合互斥性原則。

（3）相稱性原則

分類應當相稱，即劃分后子項外延的總和（并集），應當與母項的外延相等。

（4）層次性原則

分類有一次分類和多次分類之分，一次分類是對被討論對象只分類一次;多次分類是把分類后的所有的子項作為母項，再次進行分類，直到滿足需要為止。

2. 分類討論思想在高中數學解題中的應用

2.1分類討論思想在集合中的應用

在集合運算中常常會遇到結合元素與集合，集合與集合之間的關系來分類討論，尤其是對一些含參數的集合問題，常需要我們進行分類討論才能求解，在高考中多以選擇題的形式出現，因此要注意細心分類，避免出現遺漏，才能得出正確的結果。（續）