函數零點題型引發的思考

近年來的高考越來越注重對學生的綜合素質的考察，函數的零點問題便是一個考察學生綜合素質的很好途徑，它主要涉及到基本初等函數的圖象，滲透著轉化、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。近幾年的數學高考中頻頻出現零點問題，其形式逐漸多樣化，但都與初等函數圖像變換、導數知識密不可分。

根據函數零點的定義：對于函數y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實數x叫做函數y=f（x）（x∈D）的零點。即：方程f（x）=0有實數根函數y=f（x）的圖象與x軸有交點的橫坐標函數y=f（x）有零點。圍繞三者之間的關系，在高考數學中函數零點的題型主要①函數的零點的分布；②函數的零點的個數問題；③利用導數結合圖像的變動將兩個函數的圖像的交點問題轉化成函數的零點的個數問題。下面我就以這幾個月的福建省各地市質檢試題為例加以剖析：

類型一：函數零點的個數

題1：（2014年一月廈門市高中畢業班質量檢測理科數學試卷第6題：）

6.設函數則函數y=f（x）-（x2+1）的零點個數為（）

A.1 B.2 C.3 D.4

本題答案B。

題2：（2014年一月泉州市高中畢業班質量檢測理科數學試卷第10題：）

10.設函數則函數y=f [f （x）]-1的零點個數為（）

A.1 B.2 C.3 D.4

本題答案B。

根據函數的零點與方程的根、函數圖像三者之間的關系：方程f（x）=0的實數根函數y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標函數y=f（x）的零點。我們可將函數的零點轉換成兩個函數的圖像的交點個數問題。通常會結合函數性質如周期對稱軸等考一些圖像的平移，對稱等變換，或是函數的嵌套，常規題目學生解起來并不太困難，如題1與題2；但遇到題3，學生就非常吃力了，最后基本都求不出正確解答.為什么題1題2會，而題3不會呢？請看題3的分析：

題3：（2014年福州市高中畢業班質量檢測理科數學試卷第9題：）

9.若定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）= f（x），且當x∈[0，1]時，其圖像是四分之一圓（如圖所示）則函數H（x）=|xex|-f（x）在區間[-3，1]上的零點個數為（）

A.5 B.4 C.3 D.2

本題應將函數零點問題轉化為y=|xex|與y=f（x）

兩函數圖像交點問題。學生在畫y=f（x）的圖像時

基本能利用偶函數的性質得到x∈[-1，0]時的圖像，

再利用f（2-x）=f（x）得到函數周期為2，或函數對稱軸方程為x=1；

進而得出x∈[-3，-1]時的圖像（如下圖）

但學生在畫y=|xex|的圖像時也遇到上題中判斷函數極限的問題。

對于函數y=xex，g（x）=y=xex，則g′（x）=（1+x）ex；

當x<-1時，g′（x）<0；當x>-1時，g′（x）>0；

當x∈（-∞，-1）時，g（x）單調遞減；當x∈（-1，+∞）時，g（x）單調遞增；

但它的圖像不是二次型的左減右增，而是x→-∞時，因為ex>0，x<0于是g（x）=xex<0；g（x）→0；

而對于函數y=|xex|，將函數y=xex的圖像x軸下方的部分沿著x軸翻折到x軸上方，其大致圖像如右上圖，再把兩個圖像放到同一坐標系中，如右圖，即可得出本題答案B.

但g（x）→0是為什么學生依然不理解，主要是因為這里遇到了0乘∞的極限的問題。

若沒注意x→-∞時，g（x）=xex<0；而只考慮單調性把函數圖像錯畫成x→-∞時，g（x）→+∞的類型，或沒注意x=-1時，|g（-1）|=e-1<1；則本題就會錯選為別的答案。

類型三：方程的根與函數零點的分布綜合問題

題1：：（2014年1月廈門市高中畢業班質量檢測理科數學試卷第14題：）

14.已知函數f（x）=ex-x2的導函數為f′（x），y=f（x）與y=f′（x）在同一直角坐標系下的部分圖像如圖所示，若方程f′（x）-f（a）=0在x∈（-∞，a|上有兩解，則實數a的取值范圍是______.

答案：a≥ 2

本題學生主要遇到的問題是考試時因為緊張而不會利用題中和所給的信息來判斷y=f（x）與y=f′（x）的圖形分別是哪個，再利用圖形信息將方程的根轉化為圖像交點的橫坐標，最后錯失了解題時機。但講評時學生還是接受得較好的。

題2：（2014年龍巖市高中畢業班質量檢測理科數學試卷第10題：）

10.已知方程|log2（x-1）|-（）x=0的兩個根為x1和x2（x1

A.b≤3 B.b

C.b=a D.b>a

根據函數的零點與方程的根、函數圖像三者之間的關系：方程f（x）=0的實數根函數y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標函數y=f（x）的零點。我們可將上述方程的根轉換成兩個函數的圖像的交點個數問題，由上述方法我們可將方程轉化成log2（x-1）=（）x的解的個數，令h（x）=log2（x-1），g（x）=（）x，從而將原題轉化成函數y=h（x），y=g（x）的交點個數，如圖所示：解本題時，部分教師和學生會走入一些死胡同：

錯解1：由圖可知，原方程的2個解x1、x2（x12，想用不等式性質接著求出x1+x2和x1x2的范圍；

錯解2：又想到x1、x2應為f′（x）=x2-ax+b的兩個根，則得到，接下來想通過這兩不等式的變換得出a，b的大小。這兩種方法都是不可行的，主要是因為它們都忽略了函數圖像告訴我們的重要特征——單調性。

正解：想到x1、x2應為f′（x）=x2-ax+b的兩個根，則得到x1+x2=a，x1x2=b，要比較a，b的大小，用12，這個條件是不夠的。而應該從圖像的單調性出發，這題將數形結合的數學思想體現到了極致，令人大呼過癮。接著請看下一題：

題3：（2014年一月泉州市高中畢業班質量檢測理科數學試卷第20題：）

20.已知函數f（x）=ex（x2+mx+1-2m），其中m∈R，

（1）當m=1時，求函數y=f（x）的單調遞增區間；

（2）求證：對任意m∈R，函數y=f（x）的圖像在點（0，f（0））處的切線恒過定點；

（3）是否存在實數m的值，使得函數y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，若存在，求出實數m的范圍；若不存在，請說明理由。

本題主要考察導數的知識，第一二小題學生解決得很順利，但在做第三小題時普遍束手無策，不會做。

現摘錄部分解答如下：

（3）解法1：f′（x）=ex[x2+（m+2）x+（1-m]

令y1=x2+mx+（1-2m），

y2=x2+（m+2）x+（1-m）

Δ1=m2-4（1-2m）=m2+8m-4，

Δ2=（m+2）2-4（1-m）=m2+8m

①當Δ2≤0即-8≤m≤0時，y2=x2+（m+2）x+（1-m）≥0

∴y2=x2+（m+2）x+（1-m）≥0

∴y=f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增

∴y=f（x）在（-∞，+∞）上不存在最大值和最小值。

②當Δ2>0即m<-8或m>0時，設方程x2+（m+2）x+（1-m）=0的兩根為x1，x2，當x→-∞時，f（x）>0，f（x）→0；當x→+∞時，f（x）→+∞

要使函數y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需滿足f（x2）≤0即y1≤0有解，∴Δ1=m2-4（1-2m）=m2+8m-4≥0，解得m≤-4-2或m≥-4+2

綜上可得，m≤-4-2或m≥-4+ 2

請注意上面解答中畫橫線的部分。講評時，我們可能很容易理解“x→-∞時，f（x）>0，f（x）→0；當x→+∞時，f（x）→+∞”這句話，但因為高中階段對極限的要求很低，課時很少，學生并不能理解這里極限部分的內容，如有部分學生就對這一部分解答提出了自己的疑慮：“老師，x→-∞時，因為ex>0，x2+（m+2）x+1-m于是f（x）>0；但f（x）→0是為什么呢？如果：x→-∞時，f（x）>0，但f（x）不趨向于0，而是趨向于某一個正數，那不是只要極小值比這個正數小就存在最小值了嗎？ （如下圖）”

這里主要還是遇到了0乘∞的極限的問題，學生并不能理解。

題4：：（2014年3月泉州市高中畢業班質量檢測理科數學試卷第10題：）

10.如圖，對于曲線所在平面內的點O，若存在以O為頂點的角α，使得α≥∠AOB對于曲線上的任意兩個不同的點A，B恒成立，則稱角為曲線相對于點O的“屆角”，并稱其中最小的“界角”為曲線相對于點O的“確界角”。已知曲線C：（其中e =2.71828…是自然對數的底數），O為坐標原點，則曲線C相對于點O的“確界角”為（）

A. B. C. D.

這個新定義題里還是有涉及切線和漸近線，學生仍然是止步于極限的問題，真正理解題意，掌握極限的思想后，本題不難得出答案A。

大多數學生對極限的認識都是很有限的，很難理解無限觀念；他們對極限的理解只是表面的，沒有抓住極限的本質；一部分原因是因為大多學生抽象思維能力欠缺，只憑主觀意愿做猜測難題答案，但更重要的是他們對現實中極限的認識往往有很大的局限，根本無法理解作為穩定值存在的極限。其實就算是數學家們對極限的認識也不是一蹴而就的，而是有一個曲折的、漸進的形成過程。《課標》對微積分初步做了較大篇幅的調整。在結構編排上做了很大的變化，將以往的完整“縮編”結構（數列→數列極限→函數極限→函數連續→導數→微分→導數的應用→不定積分→定積分）變為從導數開始以直觀的形式引出微積分，刪除了極限的形式化定義，著重學生解決問題能力的培養。