巧妙分割與類比

在物理競賽輔導中，遇到一個比較電阻大小問題如下：

在圖1中的圓形電阻中割下一個小圓形后，AB間電阻RAB和CD間的電阻RCD的大小關系是：

A.RABgt;RCD B.RAB

在分析這個問題時，很多研究者走入誤區，按圖2的分割方法進行研究，認為AB間是由兩個相等的電阻并聯形成，而CD間是由兩個不相等的電阻并聯形成，所以RABgt;RCD，選擇了A。

上述判斷過程中根據不夠充分，因為我們并不知道AB間兩部分并聯電阻之和與CD間兩部分并聯電阻之和是否相等，所以判斷得出的結論沒有可靠依據，不能確定A選項是否正確。

下面我們用圖3的分割方法來研究這個問題。設R1的平均橫截面積是S1，設R2的平均橫截面積是S2，被割掉的圓形電阻的平均橫截面積是S0。則R1被割去小圓后平均橫截面積變小為S1-S0，電阻變大為R1;R2被割去小圓后平均橫截面積變小為S2-S0，電阻變大為R′2。

。

小圓割下之后，R1增加的電阻大于R2增加的電阻，所以RABgt;RCD，從而確定A選項的正確性。

上面的兩種辦法雖然得出了同一個結論，但是前者根據不夠充分，得出的結論不可靠，研究者一旦發現他的依據不可靠，更容易放棄A選項而選擇其他情況，那么必然錯誤。而后者的研究過程有充足的理論依據，能使研究者完全相信自己判斷的正確性。

另外，這道題還可以用一種更加巧妙的類比來分析，用車流來比作電流，上面的圓形電阻好比車行駛時路過的一個廣場，割去的小圓如同廣場上的一個路障。接AB時，A點和B點相當于路口;接CD時，C點和D點相當于路口。如圖4，路障設在道路越窄的地方（如甲所示），也就是在路口附近的交通要道上，對車輛的阻礙越大;路障設在道路越寬的地方（如乙所示），對車輛的阻礙越小。由此判定RABgt;RCD，即A是完全正確的。

在解決這個問題的過程中，筆者感受到了巧妙思考問題的快樂，并且悟出一個道理：給任何一個問題下結論時，都要有充分的理論依據，不能盲目判斷。

誗編輯 段麗君