關于三角函數最值問題的研究

摘 要：對三角函數最值的出現類型以及結合公式的解決方法進行了分析、歸納和總結，整理出一些簡單的思路以供參考。

關鍵詞：三角函數最值;輔助角;反函數法;配方法;換元法

三角函數最值的題目千變萬化，學生要能夠快速辨別一些基本類型，然后找到合適的解題思路，在解題時要特別注意題目設定的區間，復合函數也要注意代數換元和三角變換等問題。

一、引入輔助角，適用于一元二次函數

適用類型：y=asinx+bcosx+c，在求解這個類型的三角函數最值時，就需要引入一個輔助角？漬，化解為y=■sin（x+？漬）+c的公式，tan？漬=■。

這一類為含正余弦的一次函數，用公式將正余弦函數化為一種單一的三角函數來計算。

例1.求函數y=2■sin2x-2sinxcosx+1的最值。

解：函數可化為y=■（1-cos2x）-sin2x+1

=-（sin2x+■cos2x）+■+1，

即y=-2sin（2x+■）+■+1，

∵-1≤sin（2x+■）≤1，

∴當sin（2x+■）=-1時，即x=kπ-■時，函數ymax=3+■

當sin（2x+■）=1時，即x=kπ-■時，函數ymin=■-1

二、反函數法

適用類型：比如y=■，在求最值時，首先要解出cosx，反解cosx得到一個關于y的函數，再利用函數的有界性|cosx|≤1來求解。在解題過程中，要注意由于a的符號不同，對三角函數最值所產生的影響。

例2.求函數y=■的最值。

分析：此三角函數分子和分母的函數同名、同角，一般先轉化為部分分式，再用有界性去接。

解：原函數變形為（2-y）cosx=3y+1，即cosx=■，

∵|cosx|≤1，

∴|■|≤1

解得，-■≤y≤■，∴ymax=■ ymin=-■。

三、配方化為二次函數，適用于二次或可以轉化為二次的函數

適用類型：二次三角函數，比如y=asin2x+bcosx+c。

此類為含正余弦且其中之一是二次函數，利用公式sin2x+cos2x=1， 化為一元二次函數來求得值域問題。

例3.求函數y=2cos2x+5sinx-4的最值。

解：將此函數化為y=-2sin2x+5sinx-2，

配方得y=-2（sinx-■）2+■

當sinx=1時，ymax=1，

當sinx=-1時，ymin=-9。

四、換元法

適用類型：可以轉化為二次函數的三角函數，比如出現sinxcosx與sinxcosx的函數。設sinxcosx=t，|t|≤■，再將sinxcosx轉化為關于t的函數關系公式。

此類為含正余弦之和差、正余弦之積的函數，利用公式：

（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx。

例4.求y=sinx-cosx+sinxcosx的最值。

分析：sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx存在不可分割的聯系。一般設t=sinx-cosx，換元后根據題意可以靈活使用多種方法綜合求解。

解：設t=sinx-cosx=■sin（x-■），

則-■≤t≤■，且sinxcosx=■。

由于y=t+■=-■（t-1）2+1，

所以當t=1時，ymax=1;當t=-■時，ymin=-■-■。

三角函數最值的問題是數學考試的重點，在數學知識的各個領域也有著廣泛應用。出現在試卷中的關于三角函數最值問題的類型有很多，題型也變化多樣，同時還具有很強的綜合性，解題也非常靈活。大部分學生在遇到這類題型時還不能在第一時間理清思路，抓住求解的本質，迅速找到合適的方法。

參考文獻：

許靜.例談三角函數最值的基本解法[J].數理化學習，2014（9）：10.

？誗編輯 楊兆東