三個二次之間的關系

三個二次是指一元二次方程、一元二次不等式和二次函數。這三個二次都是中學數學的重要內容，它們之間相互聯系，相互滲透，其中二次函數最重要，其圖象是紐帶。它將等與不等，數與形緊密結合在一起。它既包含了方程的根，又包括了不等式的解集。利用數形結合使一些數學問題得到很好的解決。

三個二次之間的關系表：

上表告訴我們：利用函數觀點認識方程和不等式。一元二次方程的根分別對應著二次函數與x軸交點的橫坐標，同時對應著一元二次不等式解集的端點。函數的正值區間就是不等式大于0的解集對應著函數圖象在x軸上方各點橫坐標的集合。函數的負值區間就是不等式小于0的解集對應著的函數圖象在x軸下方各點的橫坐標的集合。

下面通過例子來看這幾種關系。

一、利用方程有無根與？駐之間的關系求解

例1.當m為何值時，函數y=x2+2（m-1）x+3m2-11=0的圖象與x軸有一個交點、兩個交點、無交點？

分析：函數圖象與x軸有無交點，就是對應方程有無實數根。

一個交點？葑一個實根？葑？駐=0

兩個交點？葑兩個實根？葑？駐gt;0

無交點？葑無實數根？葑？駐lt;0

而？駐=[2（m-1）]2-4×1×（3m2-11）

我們來解關于m的方程或不等式可以使問題得以求解

解：？駐=[2（m-1）]2-4×1（3m2-11）=-8（m2+m-6）

當？駐gt;0時：m2+m-6lt;0 解得-3lt;mlt;2

即：當-3lt;mlt;2時圖象與x軸兩個交點。

當？駐=0時：m2+m-6=0 解得m=-3或m=2

即：當m=-3或m=2時 圖象與x軸一個交點。

當？駐lt;0時：m2+m-6gt;0 解得mlt;-3或mgt;2

即：當mlt;-3或mgt;2時圖象與x軸沒有交點。

二、利用方程的根和不等式解集之間的關系求解

例2.已知ax2-bx-1gt;0的解集為（-■，-■）求x2-bx-alt;0的解集。

分析：∵不等式的解集端點對應方程的根，即-■和-■為方程ax2-bx-1=0的兩根，由韋達定理有-■-■=■-■×（-■）=■，從而a，b可以求得。

代入x2-bx-alt;0中解不等式即可。

解：由題得-■-■=■-■×（-■）=■：解得：a=-6b=5代入x2-bx-alt;0中得：x2-5x+6lt;0

對應方程根為x=2或x=3∴x2-5x+6lt;0的解得為（2，3）

點評：不要孤立一方面思考，要從數形結合審題，利用轉化化歸思維，使問題得以求解。

三、利用二次函數對稱軸兩側的單調性求解

例3.二次函數f（x）的二次項系數為正，且f（3-x）=f（3+x）若f（2-2x2）lt;f（2+2x-2x2），求x的取值范圍。

∵ 2-2x2lt;3 2+2x-2x2=3-（x2-2x+1）=3-（x-1）2≤3

二次函數對稱軸為x=3，圖象開口向上，此函數在（-∞，+3] 上為減函數∴2-2x2gt;2+2x-x2解此不等式，從而問題得以求解。

解：∵f（3-x）=f（3+x）∵對稱軸為x=3

此函數二次項函數系數為正，∴在（-∞，3]上為減函數。

∵2-2x2lt;3 2+2x-x2=3-（x2-2x+1）=3-（x-1）2≤3

∴2-2x2>2+2x-x2

x2+2xlt;0 ∴-2lt;xlt;0

四、利用方程根的情況求解

例4.若方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0的兩根分別在（0，1）和（1，2）內，求k的取值范圍。

解析：利用圖象由題得"f（0）gt;0"①

f（1）lt;0"②

f（2）gt;0"③

由①②③解得-2lt;klt;-1或3lt;klt;4

∴k的取值范圍為（-2，-1）∪（3，4）

綜上述，在求解有關二次問題時，要將三者有機結合起來，特別注意數形結合，達到解決問題的目的。

？誗編輯 楊兆東