次線性期望下的一個(gè)指數(shù)型概率不等式

摘 要：次線性期望空間理論受到金融風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估與保險(xiǎn)領(lǐng)域等實(shí)際應(yīng)用所驅(qū)動(dòng)，成為概率論的一個(gè)非常重要的分支。在次線性期望空間下，利用次線性期望的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)則，證明了經(jīng)典概率空間下才成立的一個(gè)指數(shù)型不等式。

關(guān)鍵詞：次線性期望;隨機(jī)變量;線性空間

彭實(shí)戈教授鑒于金融風(fēng)險(xiǎn)領(lǐng)域應(yīng)用的需要，提出了次線性期望的概念。本文主要內(nèi)容是將經(jīng)典空間下的一個(gè)指數(shù)型期望不等式推廣到次線性期望條件下。

進(jìn)入正題之前，先介紹次線性期望的若干重要概念。

給定？贅，H為定義為？贅上的實(shí)值函數(shù)構(gòu)成的線性空間。并且，H滿足常量c∈H;且滿足若X∈H，則X∈H。在本文中，定義H為隨機(jī)變量空間。

記次線性期望為E，其定義如下：

E？勖■[X]，X∈H.

其中p為概率空間（？贅，？茁）所有可測(cè)概率族。次線性期望有以下性質(zhì)：

1.對(duì)所有X≥Y，有E（X）≥E（Y）。

2.對(duì)所有X，Y，有E[X+Y]≤E[X]+E[Y]。

3.對(duì)任意？姿≥0，有E[？姿X]=？姿E[X]。

4.對(duì)所有c=R，有E[X+c]=E[X]+c。

以上四種性質(zhì)的成立是顯然的。

回顧前面的次線性期望的定義E？勖■[X]，當(dāng)我們用I{X∈A}來取代X時(shí)就變成了容度的定義■，我們也可以記作：

■

現(xiàn)在開始證明次線性期望下的一個(gè)指數(shù)型概率不等式。

假設(shè)X為一隨機(jī)變量。并且E[X]=0。令a>0，0≤α≤1，則對(duì)于任意t≥0，有：

Eexp{tXI（X≤A）}≤exp{■EX2+■}。

證明：對(duì)于任何u≤u0，有：

■

■

=■

因此，有：

Eesp{tXI（X≤A）}≤1+tEXI（X≤a）+■EX2I（X≤a）+■

≤1+tEX+■EX2+■

≤1+■EX2+■

≤exp{■EX2+■}。

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？誗編輯 溫雪蓮