三角公式之“三角三姊妹”應用

我們課本上的一道題：已知sinθ+cosθ=■，求sin2θ的值。現將sinθ+cosθ=■兩邊平方，易得sin2θ=-■。

順水推舟，由2sinθcosθ=-■兩邊乘以-1后再加1得（sinθ-cosθ）2=■，

解方程組sinθ+cosθ=■sinθ-cosθ=■或sinθ+cosθ=■sinθ-cosθ=-■

得sinθ=■cosθ=■或sinθ=■cosθ=■

不難發現sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ之間有著知其一可求其二的密切關系，進而可求sinθ與cosθ的值，從而求出θ的任一三角函數值，其中sinθcosθ起著紐帶的作用。應用這一關系可以巧妙地解決一類相關問題。

例1.函數y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值為_________。

解：設t=sinx+cosx=■sin（x+■），則-■≤t≤■。

又sinxcosx=■，

那么y=sinx+cosx+sinxcosx=t+■=■（t+1）2-1，

所以當t=■時，y有最大值■+■。

例2.求f（θ）=■（0≤θ≤■）的最大值和最小值。

解：設t=sinθ+cosθ=■sin（θ+■），

由0≤θ≤■，得■≤θ+■≤■，則1≤t≤■，

又由（sinθ+cosθ）2=t2，得2sinθcosθ=t2-1，

所以f（t）=■=2（t-1）-■，

當1≤t≤■時，利用單調性定義容易證明f（t）是[1，■]上的增函數，所以f（1）≤f（t）≤f（■），即-■≤f（t）≤■-1。

故函數f（θ）有最大值■-1，最小值-■。

？誗編輯 王夢玉