如何回避分類討論

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的位置。當(dāng)然，利用分類討論思想解題，有時(shí)難免會(huì)使問(wèn)題的解決過(guò)程變得冗長(zhǎng)。因此，我們希望在解題過(guò)程中盡量避免由人為因素引起的分類討論。

在解題過(guò)程中，如何避免人為引起的分類討論。下面，我提出幾點(diǎn)建議，供學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)參考。

一、繞開討論因素

對(duì)有些從表面上似乎需要分類討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只要能夠借助相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)等就可以繞開引起分類討論的因素，從而回避分類討論。

例1.設(shè)a>0且a≠0，0

簡(jiǎn)析：從表面看，底數(shù)a可能引起分類討論，但借助對(duì)數(shù)換底公式，就能繞開由a引起的討論。

∵0

=-log1+x（1-x）=log1+x■>log1+x（1+x）=1

∴l(xiāng)oga（1+x）>loga（1-x）

例2.已知圓C方程為：x2+y2=4。直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若AB=2■，求直線l的方程。

簡(jiǎn)析：本題若設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-1），則將由斜率k引發(fā)分類討論。但設(shè)所求的直線l的方程為x-1=t（y-2），即x-ty+2t-1=0.

根據(jù)題設(shè)，

■=1？圯3t2-4t=0？圯t1=0，t2=■.

所求直線l的方程是x=1，3x-4y+5=0.

這顯然繞開了由斜率k引起的分類討論。

二、合理進(jìn)行設(shè)定

對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題時(shí)，能夠充分挖掘其隱含條件，就可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理的設(shè)定，從而避免人為的分類討論。

例3.已知偶函數(shù)f（x）的定義域是（-2，2），且在[0，2）上為減函數(shù)， f（m-1）>（1-2m），求m的取值范圍。

簡(jiǎn)析：由于f（x）是偶函數(shù)，因此f（x）在區(qū)間（-2，0）與[0，2）的單調(diào)性不同。由此，需按m-1，1-2m的正負(fù)性來(lái)分類討論，而其中所涉及的情形有四種。這樣，不但過(guò)程復(fù)雜，運(yùn)算也繁瑣。

如果注意到f（x）是偶函數(shù)，則可知f（x）=f（-x）=f（x）.

則有f（m-1）=f（m-1）， f（1-2m）=f（1-2m）

依題意得m-1<2，1-2m<2，m-1<1-2m，解得■

例4.已知直線l1 ∶ x=1和直線l2 ∶ y=4x截得雙曲線的線段長(zhǎng)分別為2和4■，求雙曲線的方程。

簡(jiǎn)析：由于不能夠確定雙曲線的焦點(diǎn)在x軸還是在y軸上，可以合理選擇適當(dāng)?shù)碾p曲線形式，以避免引起分類討論。

設(shè)雙曲線方程為mx2-ny2=1（mn>0）

把x=1代入雙曲線方程可得

y=±■，由題意有2■=2？圯m=n+1.①

把y=4x代入雙曲線方程可得x=±■.

故直線l2截得的線段長(zhǎng)為■2■=4■？圯4m-64n=1.②

由①②可得m=■，n=■所求的雙曲線方程是■-■=1.

三、重視正難則反

對(duì)于從正面考慮分類討論在所難免的問(wèn)題，從反面常常可以避免分類討論。

例5.已知函數(shù)f（x）=■，g（x）=2mx-m如果對(duì)滿足m≤1的一切實(shí)數(shù)都有f（x）>g（x），求x的范圍。

簡(jiǎn)析：若由f（x）>g（x），得■>m（2x-1），再?gòu)慕鉄o(wú)理不等式入手，則分類討論難以避免。但若“反客為主”，把m視為變量，則無(wú)須分類討論。

命h（m）=（2x-1）m-■，則h（m）是一次函數(shù)或常值函數(shù)。欲使h（m）<0對(duì)于m≤1都成立，由函數(shù)h（m）的圖象直觀可知，當(dāng)且僅當(dāng)h（-1）<0且h（1）<0時(shí)，滿足題設(shè)。

即1-2x-■<02x-1-■<0？圯2x-1<■，解得0

例6.從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是_____（用數(shù)字作答）

簡(jiǎn)析：對(duì)于本題，若從正面考慮問(wèn)題，則分類討論在所難免。借助“正難則反”的思想方法，從12名醫(yī)生中選5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組的方法有C512種，其中不符合條件的選法有：無(wú)骨科醫(yī)生的選法C59種;無(wú)腦外科醫(yī)生的選法C58;無(wú)內(nèi)科醫(yī)生的選法C57種;無(wú)骨科醫(yī)生且無(wú)腦外科醫(yī)生的選法C55種，但在無(wú)腦外科醫(yī)生的選法C58中，也包括了全選內(nèi)科醫(yī)生C55的情況。故選派方法種數(shù)是C512-C59-C58-C57+C55=590.

上述這些例子可以說(shuō)明，對(duì)于表面上需要分類討論的問(wèn)題，在解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)審慎地選擇解題方法，盡量回避由于解法不當(dāng)引起人為的分類討論。

？誗編輯 王夢(mèng)玉