數理統計中Pearson—X2距離的分析

摘 要：數理統計在當前社會多個領域中都起著很大作用，尤其是Pearson-X2距離，重要性日益突出。但有關研究較少，在此主要對其進行介紹分析，并比較了它與其他幾個距離之間的關系。

關鍵詞：Pearson-X2距離;數理統計;密度函數

數理統計是以概率論為理論基礎對隨機現象加以研究，結合所得資料選擇相適應的數學模型，并分析該模型是否合適，最終通過觀察隨機現象內在規律，為判斷和預估工作提供必要依據的一個過程。在當前諸多領域都有應用，如人文社科、工程管理等。密度函數之間具有差異性，為更好地比較這種差異，往往會將Pearson-X2距離、全變差距離等應用于數理統計工作中。如今，極值分布大樣本以及密度函數模擬樣本的收斂性備受關注，成了研究熱點，Pearson-X2距離的應用更多。

一、關于Pearson-X2距離的分析

假設存在兩個概率密度函數，分別為f（x）和g（x），且f（x）>0， ■■dx<+∞，那么■■dx-1可表示為d2（f，g），指的是g（x）到f（x）的距離。Pearson-X2距離雖然與一般的距離定義有很大不同，但也有相通之處，主要體現為以下幾點：

1.定理1

Pearson-X2距離的特點主要有：①d2（f，g）≥0;②當且僅當兩個密度函數相同時，距離才為零，二者呈充要條件關系;③d2[f，（f+g）/2]=■d2（f，g）+■。

在證明過程中，主要是利用隨機變量方差，可得出結果①和②。由此可知，Pearson-X2距離雖然不符合距離公里的對稱性，但也能夠用來表示兩個密度函數的差異。

證明③時，d2[f，（f+g）/2]=■■■dx=■[■■dx+■f（x）dx+2■g（x）dx]=■d2（f，g）+■。

另外須注意的是，若密度函數f（x）和g（x）表示的均是離散隨機變量的概率密度，則要使用相應的求和記號代替該定理中的積分。

2.定理2

引理：若密度函數f（x）和g（x）的任意完全分割[A]，恒有d2（f，g）≥d2（f，g|[A]）。因為d2（f，g）=■■dx-1，結合條件期望定義及其Jensen不等式可證明這一引理的正確性。

那么可推斷出定理2：即對于R關于密度函數f（x）和g（x）的任意完全分割[A]，都有d2（f，g）=■（f，g丨[A]）。從前面的引理可以得出d2（f，g）≥■（f，g丨[A]）。另外，密度函數f（x）和g（x）較為簡單時，通常可記為：f（x）=■aiIAi，g（x）=■biIBi。

Eij=Ai∩Bj，則[E]={Eij，i，j=1，2，…n，m]構成R的分割，通過積分計算可直接得出：d2（f，g）=d2（f，g丨[E]）。對于普通的函數來說，利用簡單函數逼近，并借助Fatou引理求得：？坌？蘚>0，那么必然存在有分割[A]使得d2（f，g）≤■（f，g丨[A]）+？蘚，所以結論成立。

3.定理3

假設有兩個密度函數f（x）和g（x），若A為函數f（x）的可能事件集，則d（f，g）≥2■丨F（A）-G（A）丨。

因為A是可能事件集，所以根據上一引理可得：d2（f，g）≥■+■-1，進一步計算可得：d2（f，g）≥4[F（A）-G（A）]2，再根據A的任意性，最終可證明這一定理成立。

二、幾個距離間的關系分析

假設有兩個密度函數f（x）和g（x），往往將■■dx-1看做是f（x）到g（x）的Pearson-X2距離;將■{log■}f（x）dx看做是g（x）到f（x）的Kublback-Leibler距離;將■f（x）-g（x）dx看做是f（x）到g（x）的L1距離;將■F（A）-G（A）看做是f（x）與g（x）的全變差距離。這幾種關系間存在有一定的關系：

假如以下討論的距離都存在，那么：①f-g2L1≤d2（f，g），f-g2L1=（f（x）-g（x）dx）2;

②若f（x）>g（x），則d2K-L（f，g）≤d2（g，f），d2K-L（f，g）=■{log■}f（x）dx;

③V2（f，g）≤d（f，g）。

總之，Pearson-X2距離在數理統計學中發揮著重要作用，應當引起重視。從上面的分析中可知，若存在有兩個密度函數f（x）和g（x），其二者間的Pearson-X2距離充分小，那么諸如全變差距離等也是如此。而使用Pearson-X2距離更加方便，所以在當前備受重視。

參考文獻：

季海波.k階Erlang分布的Pearson-X2距離[J].淮陰工學院學報，2012，21（3）：140-142.

？誗編輯 溫雪蓮