參數(shù)方程考點(diǎn)解析

■山東省肥城市泰西中學(xué) 王駿睿

一、求曲線的參數(shù)方程

例1 已知邊長為a的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A在y軸的非負(fù)半軸上移動,頂點(diǎn)B在x軸的非負(fù)半軸上移動,求頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi)的軌跡的參數(shù)方程。

點(diǎn)評：該題的解題思路是：先畫出圖形,選取角為參數(shù),建立動點(diǎn)的坐標(biāo)的三角函數(shù)即可。求曲線的參數(shù)方程的方法步驟：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,設(shè)曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo);

(2)寫出適合條件的點(diǎn)M的集合;

(3)用坐標(biāo)表示集合,列出方程;

(4)化簡方程為最簡形式;

(5)證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)(此步驟可以省略,但一定要注意所求的方程中所表示的點(diǎn)是否都表示曲線上的點(diǎn),要注意那些特殊的點(diǎn))。

二、參數(shù)方程化為普通方程

(1)當(dāng)t為參數(shù),θ為常數(shù)時,方程表示何種曲線?

(2)當(dāng)t為常數(shù),θ為參數(shù)時,方程表示何種曲線?

當(dāng)t=0時,表示點(diǎn)(a,b)。

點(diǎn)評：(1)消去參數(shù)的常用方法：將參數(shù)方程化為普通方程,關(guān)鍵是消去參數(shù),如果參數(shù)方程是整式方程,常用的消元法有代入消元法、加減消元法。如果參數(shù)方程是分式方程,在運(yùn)用代入消元或加減消元之前要做必要的變形。另外,熟悉一些常見的恒等式至關(guān)重要,如 sin2α+cos2α=1,(ex+e-x)2-

(2)把參數(shù)方程化為普通方程時,要注意哪一個量是參數(shù),并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響。本題啟示我們,形式相同的方程,由于選擇參數(shù)的不同,可表示不同的曲線。

(3)該題的解題思路是：①運(yùn)用加減消元法,消t;②當(dāng)t=0時,方程表示一個點(diǎn),當(dāng)t為非零常數(shù)時,利用平方關(guān)系消參數(shù)θ,化成普通方程,進(jìn)而判定曲線形狀。

三、利用參數(shù)思想解題

例3 已知x,y滿足x2+(y-1)2=1,求：

(1)3x+4y的最大值和最小值;

(2)(x-3)2+(y+3)2的最大值和最小值。

因?yàn)?10≤10sin(θ+φ)≤10,所以16≤26+10sin(θ+φ)≤36。

所以(x-3)2+(y+3)2的最大值為36,最小值為16。

點(diǎn)評：該題的解題思路是：設(shè)圓的參數(shù)方程,將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問題來解決。

參數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想,在參數(shù)方程中,參數(shù)(參變量)起著媒介作用,它是聯(lián)系曲線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的橋梁。通過參數(shù)θ,間接建立曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)間的聯(lián)系,拓寬了解題思路,簡化了思維過程。它是研究解析幾何問題的重要工具。

運(yùn)用參數(shù)思想解題的關(guān)鍵在于參數(shù)的選擇。選擇參數(shù)時,應(yīng)注意所選擇的參數(shù)易于與兩個坐標(biāo)產(chǎn)生聯(lián)系。由于三角函數(shù)的巨大作用,常選擇角為參數(shù),若軌跡與運(yùn)動有關(guān),常選擇時間為參數(shù)。

解決與圓有關(guān)的最大值和最小值問題,常常設(shè)圓的參數(shù)方程,然后轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問題。