解析幾何、函數與導數綜合應用、選修4-4、選修4-5 試題精選

■安徽省六安二中 陶興紅

(1)求點P的軌跡C的方程;

(2)若F為點A關于原點O的對稱點,過F的直線交曲線C于M,N兩點,直線OM交直線y=-1于點H,求證：|NF|=|NH|。

(1)求橢圓C的標準方程。

(2)試判斷以PQ為直徑的圓是否經過定點。若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由。

3.已知函數f(x)=xlnx。

(1)若函數φ(x)=f(x)-(m+2)x,討論函數φ(x)在[3,+∞)上的單調性;

(2)求證：e2f(x)＜2ex。

4.已知函數f(x)=(x+b)(ex-a)(b＞0)在(-1,f(-1))處的切線方程為(e-1)x+ey+e-1=0。

(1)求a,b的值;

(3)若方程f(x)=m有兩個實數根x1,x2,且 x1＜x2,證 明：x2-x1≤1+

(Ⅰ)當a=1時,求函數f(x)在x=1處的切線方程;

(Ⅱ)當a≤0時,證明：函數f(x)只有一個零點;

(Ⅲ)若函數f(x)的極大值等于0,求實數a的取值范圍。

6.在直角坐標系xOy中,曲線C1的參M是C1上的動點,點P滿足OP=2OM,點P的軌跡為曲線C2。

(1)求C2的方程;

(2)在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與C1異于極點的交點為A,與C2異于極點的交點為B,求|AB|。

7.已知曲線C1的參數方程為,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=2。

(1)分別寫出C1的普通方程,C2的直角坐標方程;

(2)已知M、N分別為曲線C1的上、下頂點,P為曲線C2上任意一點,求|PM|+|PN|的最大值。

參考答案：

1.(1)設P(x,y),B(x0,y0),因為P為AB的中點,

所以點P的軌跡C的方程為x2=4y。(2)依題意得F(0,1),直線MN的斜率存在,其方程可設為y=kx+1。

設M(x1,y1),N(x2,y2),聯立消去y整理得x2-4kx-4=0,則Δ=16k2+16＞0,所以x1x2=-4。

根據拋物線的定義知|NF|等于點N到準線y=-1的距離。

因為H在準線y=-1上,故要證明|NF|=|NH|,只需證明HN垂直準線y=-1,即證HN∥y軸。

(2)由題意可知,當直線AB的斜率不存在或為零時顯然不符合題意。

當直線AB的斜率存在時,設直線AB

當0＜x＜2時,g′(x)＜0,當x＞2時,g′(x)＞0,所以函數g(x)在(0,2)上單調遞

當x＜-1時,若x∈(-∞,-2],F′(x)＜0,若x∈(-2,-1),F″(x)=ex(x+3)＞0,y=F′(x)在(-2,-1)上單調遞增,F′(x)＜F′(-1)=0,故F′(x)＜0,y=F(x)在(-∞,-1)上單調遞減。

當x＞-1時,由F″(x)=ex(x+3)＞0知y=F′(x)在(-1,+∞)上單調遞增,F′(x)＞F′(-1)=0,函數y=F(x)在(-1,+∞)上單調遞增。

所以F(x)≥F(-1)=0,即f(x)≥h(x)成立。

圖2

設曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=t(x),有t(x)=x。

令T(x)=f(x)-t(x)=(x+1)(ex-1)-x,則T′(x)=(x+2)ex-2。

當x≤-2時,T′(x)=(x+2)ex-2≤-2＜0,當x＞-2時,T″(x)=(x+3)ex＞0,故函數y=T′(x)在(-2,+∞)上單調遞增。

又T′(0)=0,所以當x∈(-∞,0)時,T′(x)＜0,當x∈(0,+∞)時,T′(x)＞0。

所以函數y=T(x)在區間(-∞,0)上單調遞減,在區間(0,+∞)上單調遞增。

所以T(x)≥T(0)=0,即f(x)≥t(x)。

設t(x)=m的根為x2′,則x2′=m,又函數y=t(x)單調遞增,故m=t(x2′)=f(x2)≥t(x2),故x2′≥x2。

又x1′≤x1,所以x2-x1≤x2′-x1′=

當a≤0時,g′(x)＜0,g(x)在(0,+∞)上單調遞減。

又g(1)=0,所以當x∈(0,1)時,f′(x)＞0,f(x)單調遞增,當x∈(1,+∞)時,f′(x)＜0,f(x)單調遞減。

所以f(x)≤f(1)=0,所以f(x)只有一個零點x=1。

(Ⅲ)(1)當a≤0時,由(Ⅱ)知,f(x)的極大值為f(1)=0,符合題意。

(2)當a＞0時,令g′(x)=0,得x=a,當x∈(0,a)時,g′(x)＞0,g(x)單調遞增,當x∈(a,+∞)時,g′(x)＜0,g(x)單調遞減,注意到g(1)=0。

綜上可知,a的取值范圍是(-∞,1)。