運(yùn)用幾何意義破解絕對(duì)值不等式問題

■江蘇省沭陽如東中學(xué) 封其峰

含絕對(duì)值不等式的常用解法有：

(1)基本性質(zhì)法：對(duì)a∈R+,|x|＜a?-a＜x＜a;|x|＞a?x＜-a或x＞a。

(2)平方法：兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)。

(3)零點(diǎn)分區(qū)間法(或叫定義法)：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào),將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解。

(4)幾何法：利用絕對(duì)值的幾何意義,畫出數(shù)軸,將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求解。

(5)數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖像,利用函數(shù)圖像求解。

在此,我們重點(diǎn)講解如何運(yùn)用幾何意義,解絕對(duì)值不等式。

問題一、利用幾何意義解兩項(xiàng)絕對(duì)值不等式

代數(shù)法與幾何意義解決絕對(duì)值不等式問題的對(duì)比。

例1 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),求不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集。

解法一：(利用代數(shù)法求解)分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)解不等式。

評(píng)注：代數(shù)法解決絕對(duì)值不等式時(shí),要根據(jù)絕對(duì)值的定義,分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào),轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后數(shù)形結(jié)合解決是常用的思維方法。利用零點(diǎn)分類討論法解絕對(duì)值不等式時(shí),注意分類討論時(shí)要不重不漏。利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想。

問題二、利用幾何意義解三項(xiàng)絕對(duì)值不等式

例2 解不等式|x-1|+|x-2|≤|x+1|。

解析：原不等式的幾何意義是在數(shù)軸上找出到點(diǎn)ξ1=1與ξ2=2的距離之和不大于到點(diǎn)ξ3=-1的距離的所有流動(dòng)點(diǎn)x。

從圖上判斷,在ξ1與ξ2之間的一切點(diǎn)顯然都合乎要求。事實(shí)上,這種點(diǎn)到ξ1與ξ2的距離和正好是1,而到ξ3的距離是2+(x-1)=1+x(1≤x≤2),現(xiàn)在讓流動(dòng)點(diǎn)x由點(diǎn)ξ1向左移動(dòng),這樣它到點(diǎn)ξ3的距離變小,而到點(diǎn)ξ1與ξ2的距離增大,顯然,合乎要求的點(diǎn)只能是介于ξ3=-1與ξ1=1之間的某一個(gè)點(diǎn)x1。由(1-x1)+(2-x1)≤x1-(-1),可得

再讓流動(dòng)點(diǎn)x由點(diǎn)ξ2向右移動(dòng),雖然這些點(diǎn)到ξ1與ξ2的距離的和與到ξ3的距離和都在增加,但通過比較,到ξ1與ξ2的距離的和增加的要快。所以,要使這種點(diǎn)合乎要求,也只能流動(dòng)到某一點(diǎn)x2而止。

評(píng)注：從以上解答過程中可以看到,解答該題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為：在數(shù)軸上觀察動(dòng)點(diǎn)x與各個(gè)零點(diǎn)之間的關(guān)系,從而獲得所求解集。

問題三、利用幾何意義運(yùn)用絕對(duì)值不等式的解集求參數(shù)的取值范圍

例3 不等式|x+1|-|x-2|＞k的解集為R,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解法一：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義,設(shè)數(shù)x,-1,2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P,A,B,則原不等式等價(jià)于|PA|-|PB|＞k恒成立。因?yàn)閨AB|=3,即|x+1|-|x-2|≥-3,故當(dāng)k＜-3時(shí),原不等式恒成立。

評(píng)注：解法一是利用數(shù)軸通過零點(diǎn)間的相互關(guān)系,找出使不等式恒成立時(shí)的參數(shù)k的取值范圍;解法二,首先是把|x+1|-|x-2|構(gòu)造為函數(shù)y=|x+1|-|x-2|,再畫出分段函數(shù)的完整圖像,對(duì)比兩個(gè)函數(shù)y=|x+1|-|x-2|與y=k的圖像,使得函數(shù)y=|x+1|-|x-2|的最小值恒大于k,從而獲得k的取值范圍。