不等式選講“易錯(cuò)問(wèn)題”歸類剖析

■四川省綿陽(yáng)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 余 強(qiáng)

不等式選講主要考查同學(xué)們的轉(zhuǎn)化化歸、邏輯推理和運(yùn)算求解等能力。而同學(xué)們?cè)谶@一部分新課學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)中容易出現(xiàn)誤區(qū),本文對(duì)不等式選講問(wèn)題中的易錯(cuò)問(wèn)題進(jìn)行歸類分析,希望對(duì)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)時(shí)能有所幫助。

易錯(cuò)點(diǎn)一、不能正確認(rèn)識(shí)零點(diǎn)分段法，將去絕對(duì)值的方法和三角不等式混淆

例1 (2020年山西大同模擬)已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-1|。

(1)當(dāng)a=3時(shí),求不等式f(x)≥x+9的解集;

(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[0,2],求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解：(1)當(dāng)a=3時(shí),f(x)=|x+3|+|x-1|≥|x+3-x+1|=4≥x+9,得x≤-5。

(2)f(x)=|x+a|+|x-1|≥|x+ax+1|=|a+1|≥x+9的解集包含[0,2],所以|a+1|-9≥2,得a≥10或a≤-12。

錯(cuò)因分析：第(1)問(wèn)不會(huì)去絕對(duì)值,從而把解絕對(duì)值不等式的方法與三角不等式求最值的方法混為一談;第(2)問(wèn)沒(méi)有看清題目要求,直接出錯(cuò)。

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-3,-1]。

提醒：零點(diǎn)分段法是指：若數(shù)x1,x2,…,xn分別使含有|x-x1|,|x-x2|,…,|xxn|的代數(shù)式中相應(yīng)絕對(duì)值為零,稱x1,x2,…,xn為相應(yīng)絕對(duì)值的零點(diǎn),零點(diǎn)x1,x2,…,xn將數(shù)軸分為n+1段,利用絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào),得到代數(shù)式在各段上的簡(jiǎn)化式,從而化為不含絕對(duì)值符號(hào)的一般不等式來(lái)解,即令每項(xiàng)等于零,得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn),然后再分區(qū)間討論絕對(duì)值不等式,最后應(yīng)求出解集的并集。

易錯(cuò)點(diǎn)二、恒成立問(wèn)題與能成立問(wèn)題區(qū)分不清

例2 (2020年四川蓉城名校模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|x+a|+|x+3|-6。

(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)≤0的解集;

(2)若f(x)≥2在R上恒成立,求a的取值范圍。

錯(cuò)解：(2)對(duì)a的范圍進(jìn)行分類討論,加上零點(diǎn)分段去解不等式,無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行。

錯(cuò)因分析：因?yàn)閷?duì)恒成立問(wèn)題認(rèn)識(shí)不到位,同學(xué)們經(jīng)常以a的范圍進(jìn)行分類討論造成失誤。

所以f(x)≥2等價(jià)于|a-3|≥8,得a≤-5或a≥11,所以a的取值范圍為(-∞,-5]∪[11,+∞)。

提醒：不等式的恒成立問(wèn)題的處理方案：

若不等式f(x)＞A在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min＞A;

若不等式f(x)＜B在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max＜B。

例3 (2020年吉林高三月考)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x|。

(1)求不等式f(x)≥-2的解集;

錯(cuò)因分析：把存在性(能成立)問(wèn)題與恒成立問(wèn)題混為一談造成錯(cuò)誤。

(2)由題意知,只需要[f(x)-3]max≥a2-5a成立即可。因?yàn)閒(x)=上單調(diào)遞增,在[0,3]上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(0)=1,所以a2-5a+2≤0,解得

提醒：不等式的能成立問(wèn)題的處理方案：

若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)＞A成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max＞A;

若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)＜B成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的f(x)min＜B。

易錯(cuò)點(diǎn)三、三角不等式的理解不到位

例4(2020年四川攀枝花模擬)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|。

(1)解不等式f(x)＜|x|+3;

提醒：絕對(duì)值三角不等式|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||,a、b同號(hào),則|a+b|=|a|+|b|≥||a|-|b||=|a-b|;a、b異號(hào),則|a-b|=|a|+|b|≥||a|-|b||=|a+b|。使用絕對(duì)值三角不等式求最值時(shí),首先,要注意不等號(hào)方向,其次,要注意在配湊時(shí)應(yīng)將不等式中的未知數(shù)抵消才行。

易錯(cuò)點(diǎn)四、利用柯西不等式證明三元不等式時(shí)找不到對(duì)偶式

例5 (2020年河南洛陽(yáng)模擬)已知關(guān)于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集為R。

(1)求m的最大值;

(2)已知a＞0,b＞0,c＞0,且a+b+c=1,求2a2+3b2+4c2的最小值及此時(shí)a,b,c的值。

錯(cuò)解：(1)對(duì)m的范圍進(jìn)行討論后,零點(diǎn)分段,分類過(guò)多,計(jì)算出錯(cuò)。

(2)由a+b+c=1,能求a2+b2+c2的最值,但2a2+3b2+4c2沒(méi)辦法配湊致出錯(cuò)。

錯(cuò)因分析：解題時(shí)無(wú)法找到對(duì)偶式導(dǎo)致解題“卡殼”,無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行。

正解：(1)因?yàn)閨x+3|+|x+m|≥|(x+3)-(x+m)|=|m-3|,當(dāng)-3≤x≤-m或-m≤x≤-3時(shí)取等號(hào),令|m-3|≥2m,則m-3≥2m或m-3≤-2m,解得m≤-3或m≤1,所以m的最大值為1。

易錯(cuò)點(diǎn)五、不等式證明方法不當(dāng)

例6 (2020年江蘇高考模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-|x+1|-|x-1|。

(1)求不等式f(x)≤0的解集A;

(2)在(1)的條件下,若a,b∈A,求證：2|a+b|≤|ab+4|。

錯(cuò)解：(2)直接去掉絕對(duì)值進(jìn)行因式分解證明出錯(cuò)。

錯(cuò)因分析：沒(méi)能掌握證明不等式常用的方法——綜合法和分析法。

正解：(1)①當(dāng)x＜-1時(shí),不等式f(x)≤0可化為x2+(x+1)-(1-x)≤0,解得-2≤x≤0,故有-2≤x＜-1;

②當(dāng)-1≤x≤1時(shí),不等式f(x)≤0可化為x2-(x+1)-(1-x)≤0,解得-2≤x≤2,故有-1≤x≤1;

③當(dāng)x＞1時(shí),不等式f(x)≤0可化為x2-(x+1)-(x-1)≤0,解得0≤x≤2,故有1＜x≤2。

綜上,不等式f(x)≤0的解集A={x|-2≤x≤2}。

(2)由|ab+4|2-4|a+b|2=(a2b2+8ab+16)-4(a2+2ab+b2)=a2b2-4a2-4b2+16=(a2-4)(b2-4)。

因?yàn)閍,b∈A,所以a2≤4,b2≤4,所以a2-4≤0,b2-4≤0,所以(a2-4)(b2-4)≥0。

所以|ab+4|2≥4|a+b|2,故不等式2|a+b|≤|ab+4|成立。

提醒：證明不等式常用的方法：綜合法,分析法。綜合法：從已知條件、不等式的性質(zhì)和基本不等式出發(fā),通過(guò)邏輯推理,推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論。分析法：將待證明的不等式進(jìn)行恒等變形,從而探尋證明的突破口。