數學思想方法在教學中的滲透

《線段、射線、直線》是新編人教版四年級和七年級都涉及到的教學內容。從課程標準來看，本課是圖形與幾何中圖形的知識體系。教學目有三個：一是結合實例了解線段、射線、直線的概念，并了解線段、射線、直線的區別與聯系;二是體會兩點之間線段最短的原理，知道兩點之間的距離;三是合理地體驗知識中蘊含的數學思想方法。因而在教學設計的過程中，教師應讓學生充分感受數學知識學習的過程性特點，加深相關數學思想方法的體驗與感悟。本文圍繞該章節中蘊含的數學思想方法進行了習題設計。

用無限的思想幫助概念形成

問題1：直線、射線、線段都能度量嗎？

問題2：過一點O可以畫幾條直線？幾條射線？過兩個點可以畫幾條直線？

分析：本節課從線段、射線、直線概念的形成入手，教師應該抓住“不可度量”這一關鍵特質，從而用無限思想區分線段、射線、直線的區別。在理解線段、射線、直線的特性時，經過一點可以畫無數條直線，過一點出發可以畫無數條射線等，便蘊含了無限的思想。

解答：直線和射線不能度量，線段可以度量。過一點可以畫無數條直線與射線，過兩點只能畫一條直線，如圖1。

用分類加強概念區分

問題3：下面的圖形，哪些是直線？哪些是射線？哪些是線段？把序號標在相應的橫線里。 是直線， 是射線， 是線段。

分析：由于線段、射線、直線概念不同，在授課中，為了區分概念，教師可以利用分類集合思想幫助學生進一步的了解三者之間的區別與聯系。

解答：①②是直線，③是射線，④⑤是線段。

問題4：已知A、B、C村在同一條直線上，A村到B村的距離是8千米，C村到B村的距離是3千米，求線段A村到C村的距離。

分析：由于點C可能在線段AB上，也可能在線段AB外，因此需要分類討論。

解答：當點C在線段AB上時，如圖3所示，AC=AB-BC=5千米;當點C在線段AB外時，如圖4所示， AC=AB+BC=11千米。因此線段A村到C村的距離為5千米或11千米。

用數形結合解決實際問題

問題5：小明、小華、小剛、小林四個同學見面后相互握手，若每人相互握手一次，一共需要握手幾次？

問題6：小明周末到圖書館看書，從小明家到圖書館中途有兩個客車停靠點。試問這輛客車有多少種不同的票價？售票員要準備多少種車票？

分析：為了降低難度幫助學生弄清題意，教師可以引導學生自己畫圖，借助圖形的形象思維解答問題。利用數形結合的思想幫助學生建立數學模型。用線段上的點表示四個同學和四個車輛停靠點。學生每握手一次可以看成一條線段，兩站之間的票價了可以看成一條線段，用線段的條數輔助學生確定握手次數問題和票價問題。但這兩題的不同點，教師都要注意幫助學生區分，握手一次相當于兩個相互之間都握手了，所以線段條數只算一次。票價是有方向的線段，條數要算兩次。

解答：根據題意畫出圖5中的線段。可以有AC、AD、AB、CD、CB、DB共六條。因此問題5中四人相互握手次共需要6次。問題6中有6種不同的票價。但因為在這條路上往返時起點和終點正好相反，所以要準備12種車票。

用類比解決角個數問題

問題7：下面圖形中有幾個角？

分析：這類題目雖說有很直觀的圖形素材，但是在教學中發現學生對此類有關角的個數的題目建模沒有用線段建模深刻，所以教師可以引導學生利用知識的類比遷移，把角的問題轉化成熟悉的線段問題。

解答：此題可以先用學生熟悉的找線段條數來做個鋪墊。找找上面線段的條數，通過類比幫助學生建模。線段有AB、AC、AD、BC、BD、CD。角有∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD、∠COD。

用方程解決線段比問題

問題8：點D、E在線段AB上，且都在AB中點的同側，點D分AB為2：5兩部分，點E分AB為4：5兩部分，若DE=5厘米，則AB的長為 ？

分析：此題中只知道線段DE的長度。教師要引導學生利用線段的比來建立方程。

解答：由題意，得如圖8所示，設AB=x，則，由，得，解得x=31.5，即AB=31.5厘米。

用歸納建模找規律

問題9：如圖9，當直線上有5個點時有幾條線段？6個點呢？N個點時有幾條呢？

問題10：如圖10所示，a、b、c與是同一平面內的兩條相交直線，它們有3個交點，如果在這個平面內，再畫第4條直線d ，那么這4條直線最多可有幾個交點？如果在這個平面內再畫第5條直線，那么這5條直線最多可有幾個交點？由此我們可以猜想：在同一平面內n（n為大于1的整數）條直線最多可有幾個交點？（用含n的代數式表示）。

分析：上面兩個題目規律一樣，只是知識呈現的背景不一樣。對于這種找規律的題目，我們可以引導學生用列表建模的方法，通過數據變化的特點比較歸納出它們的規律。

解答：a2=1，a3=a2+2=1+2，a4=a3+3=1+2+3，a5=a4+4=1+2+3+4……于是，可猜想n個點/n條直線最多可有線段條數/交點個數為：an=an-1+（n-1）=1+2+3+4+…+（n-1）=n（n-1）。

有句話說得好，數學是鍛煉思維的體操。學生學習數學的目的在于應用，而學生從學數學到用數學，其質的飛躍應該是由知識的累積過程轉變為數學思想方法的運用。因此，教師課堂教學中要著眼長遠，在教學設計上，要注意啟發學生思維。在數學教學的過程中，教師要關注的不僅是學生知識掌握的多寡，更應關注的是在學習過程中學生數學思想方法的領悟和智慧的生成。

（作者單位：廣東省廣州市南沙區沙尾第二小學）