動點入題 心曠神怡

有關(guān)動點的試題，是中考試卷中的一個亮點，動點人題.令人耳目一新.解決動點問題的關(guān)鍵，是抓住“靜”的瞬間，以靜制動、動中窺靜.聯(lián)系已知條件，結(jié)合圖形的特點，先用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示有關(guān)線段的長，然后建立方程模型進行求解，下面略舉數(shù)例，供同學(xué)們賞析.

例1 如圖1.正方形ABCD的邊長為6cm.點E在AB上，且AE=2cm.動點F由點C開始，以3cm/s的速度沿折線CBE移動：動點G同時從點D開始，以1cm/s的速度沿邊DC移動.幾秒后以點D，G，F(xiàn)，E為頂點的四邊形是平行四邊形？

例2 如圖2所示，在矩形ABCD中.AB=6cm，BC=12cm.點E由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速移動，速度為lcm/s；點F由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速移動，速度為2cm/s.如果動點E，F(xiàn)同時從A，B兩點出發(fā)，且當(dāng)一個動點到達終點時，另一個動點隨即停止運動，連接EF.若設(shè)運動的時間為ts，請解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時，△BEF為等腰直角三角形？

（2）是否有某一時刻t，使△DFC為等腰直角三角形？

解：（1）根據(jù)題意，得AE=tcm，BF=2tcm.故BE=（6-t）cm.

因∠B=90°，所以要使△BEF為等腰直角三角形，應(yīng)有BE=BF所以6-t=2t，t=2.

∴當(dāng)t=2時，△BEF為等腰直角三角形.

（2）根據(jù)題意，得BF=2tcm，故CF=（12-2t）cm.

因∠C=90°，故要使△DFC為等腰直角三角形，應(yīng)有CF=CD.所以12-2t=6，t=3.

∴當(dāng)t=3時，△DFC為等腰直角三角形，

例3 如圖3.在四邊形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm.點E由點A出發(fā)沿AD方向向點D勻速運動，速度為1cm/s；點F由點C出發(fā)沿CB方向向點B勻速運動，速度為2cm/s.如果動點E，F(xiàn)同時從A，C兩點出發(fā)，當(dāng)一個動點到達終點時，另一個動點也隨即停止運動，連接EF設(shè)運動的時間為ts.試解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時，四邊形AEFB是矩形？

（2）當(dāng)t為何值時，四邊形EFCD是平行四邊形？

側(cè)4 如圖4.在Rt△ABC中，∠B=90°.BC=.∠/C=30°，點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動.同時，點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動.當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止運動.設(shè)點D，E運動的時間是ts（t>0）.過點D作DF⊥BC于點F，連接DE.EF.

（l）求證：AE=DF.

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t的值；如果不能，請說明理由.

（3）當(dāng)t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.

解：（l）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，故DF=t.因AE=t，故AE=DF.

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形，理由如下：

因，故四邊形AEFD為平行四邊形.

因∠B=90°，∠C=30°，故AC=2AB.

由BC=，可根據(jù)勾股定理列方程，求得AC=lO.

∴AD=AC-DC=10-2t.

若要使平行四邊形AEFD為菱形，則需AE=AD.

四邊形AEFD為菱形.

（3）①如圖5，若∠EDF=90°時，則四邊形EBFD為矩形，在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，

∴AD=2AE，即10-2t=2t.故

②如圖6，若∠DEF=90°時，由（2）知四邊形AEFD為平行四邊形、EF∥AD.

小試牛刀

1.如圖7.在四邊形ABCD中，AD//BC，AD=6，BC=16.E是BC的中點，點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動.點P到達點D時，點Q也隨之停止運動，當(dāng)運動時間t為多少秒時，以點P，D，Q，E為頂點的四邊形是平行四邊形？

2.如圖8，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm點E，F(xiàn)，G分別從點A，B，C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動，點E，G的速度均為2cm/s.點F的速度為4cm/s.求當(dāng)移動開始1s時的

3.如圖9，在矩形ABCD中，點P是線段AD上的一個動點，點0為BD的中點.PO的延長線交BC于點Q.

（l）求證：OP=OQ.

（2）若AD=8，AB=6，點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點D運動（不與點D重合）.設(shè)點P的運動時間為ts.求f為何值時，四邊形PBQD是菱形.