四邊形新定義題兩例

在近年的中考中，出現(xiàn)了一類設(shè)計優(yōu)美、格調(diào)清新、新穎獨特的題型：讓學(xué)生通過閱讀、理解新定義的一個四邊形的概念，從中獲取新的數(shù)學(xué)信息，感悟知識的產(chǎn)生過程，然后解答所附設(shè)的數(shù)學(xué)問題.下面舉例說明，

例1（2014年·舟山）類比梯形的定義，我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”.

（1）如圖1，四邊形ABCD是等對角四邊形.∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°.求∠C，∠D的度數(shù).

（2）①小紅畫了一個等對角四邊形ABCD（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD.此時她發(fā)現(xiàn)CB=CD也成立.請你證明此結(jié)論.

②由此小紅猜想：對于任意的等對角四邊形，當(dāng)一組鄰邊相等時，另一組鄰邊也相等，她的猜想正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請舉出反例.

（3）在等對角四邊形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°.AB=5，AD=4.求對角線AC的長，

解析：（1）在等對角四邊形ABCD中，∠A≠∠C，故∠D=∠B=80°，故∠C=360°-70°-80°-80°=130°.

（2）①連接BD，如圖3.因AB=AD，故∠ABD=∠ADB.又因∠ABC=∠ADC，故∠CBD=∠CDB，于是CB=CD.

②不正確，反例如圖4，∠A=∠C=90°，AB=AD，但CB≠CD.

點評：解題的關(guān)鍵是理解并運用“等對角四邊形”這個概念，須注意分類討論.

例2 （2014年·蘭州）若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為“勾股四邊形”.

（1）在你學(xué)過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱.

（2）如圖7，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE.連接AD，DC.CE.已知∠DCB=30°.

①求證：△BCE是等邊三角形；解析：（1）正方形、矩形、直角梯形等均是.

點評：此題主要考查勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合性較強的題目.

練習(xí)：

1.我們把能平分四邊形面積的直線稱為“好線”.利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”：如圖8，在四邊形ABCD中，取對角線BD的中點O.連接OA，OC.顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過點O作OE//AC交CD于點E.則直線AE即為一條“好線”.

（1）證明AE是“好線”.

（2）如圖9，AE為一條“好線”.F為AD邊上的一點.請作出經(jīng)過F點的“好線”，并對畫圖作適當(dāng)說明（不需要說明理由）.

參考答案：

1.（1）設(shè)AE與OC交于G點，因OE//AC，故從而有AE平分四邊形ABCD的面積.

（2）連接EF，過點A作EF的平行線，交CD于點P.作直線P，則直線PF即為“好線”.理由可參考（1）的過程.