對角線上的兩點帶來的精彩

平行四邊形的對角線是平行四邊形中兩條特殊的線段.而在這個特殊線段上的有“特殊意義”的點，總能演繹出許多耐人尋味的“故事”，令人陶醉，你是不是也迫不及待地想領略一番？嗯，不多說了，請欣賞.

一、對角線上的兩個動點

例，（2014年·益陽）如圖1，平行四邊形ABCD中，E，F是對角線BD上的兩點.如果添加一個條件可使△ABE相等于△CDF，則添加的條件不能是（）.

A. AE=CF B. BE=DF C. BF=DE D.∠1=∠2

解析：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB=CD，AB//CD，所以∠ABE=∠CDF.

從“邊角邊”的角度來講可以補充的條件是BE=DF因為EF是公共線段，所以BE=DF等價于BF=DE.所以選項B，C都可以使三角形全等.

從“角角邊”的角度來講可以補充的條件不具備.

從“角邊角”的角度來講可以補充的條件是∠l=∠2.所以選項D可以使三角形全等.

綜上，選A.

二、對角線上的兩個垂足點

例2 如圖2.在平行四邊形ABCD中.BD是它的一條對角線.過點A，C分別作AE⊥BD，CF⊥BD.E，F為垂足.求證：四邊形AFCE是平行四邊形，

解析：根據AE⊥BD，CF⊥BD，得AE//CF.只需再利用三角形全等證明AE=CF，問題就能得到證明.

因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD=CB，∠ADE=∠CBF，所以△4DE全等于△CBF（角角邊），所以AE=CF

所以四邊形AFCE是平行四邊形.

三、對角線一半的兩個中點

例3 如圖3所示， 平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O.E，F分別是OA，OC的中點，求證：四邊形DEBF是平行四邊形.

解析：要證的四邊形與已知的平行四邊形有一條公共的對角線BD，這就意味著OD=OB.如果再證明OE=OF，就可以利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形來完成證明.

因為E，F分別是OA，OC的中點，所以由OA=OC可得OE=OF.所以四邊形DEBF是平行四邊形.

四、對角線上等線段的兩個端點

例4 （2013年·鞍山）如圖4，E，F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AF=CE.DF=BE，DF//BE.求證：（l）△AFD全等于△CEB；（2）四邊形ABCD是平行四邊形.

解析：（l）利用“邊角邊”容易證明△AFD全等于△CEB

（2）由△AFD全等于△CEB，容易得到AD=CB且AD//CB，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證得結論.

五、等角與對角線的兩個交點

例5 如圖5，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F是對角線AC上的兩點，且∠ABE=∠CDF求證：四邊形DEBF是平行四邊形，

解析：利用平行四邊形的性質和已知條件，可以證明△ABE全等于△CDF（角邊角），△ADE全等于△CBF（邊角邊）.于是得到BE=DF，DE=BF，從而可證明結論，

六、對角線上兩個等角的頂點

例6 （2014年·賀州）如圖6，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F是對角線BD上的兩點，∠1=∠2.（1）求證：BE=DF；（2）求證：AF//CE.

解析：（1）如圖7，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB=CD，AB//CD.

所以∠4= ∠3.因為∠1=∠2，所以∠AEB=∠CFD，所以△ABE全等于△CDF（角角邊），BE=DF.

（2）由（1）知△ABE全等于△CDF，所以AE=CF.因為∠1=∠2，所以AE//CF.

所以四邊形AECF是平行四邊形，AF//CE.

練習：

1.如圖8，在平行四邊形ABCD中（AB≠BC），直線EF經過其對角線的交點O，且分別交AD.BC于點M，N，分別交BA，DC的延長線于點E，F有下列結論：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM全等于△FCN；④△EAO全等于△CNO.其中一定正確的是（）. A.①②

B.②③

C.②④

D.③④

參考答案：

1.B