判定菱形四法寶

菱形是一種比較特殊的四邊形，它的四條邊相等，對角線互相垂直平分，并且是以對角線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，那么，如何判定一個四邊形是菱形呢？菱形的判定應(yīng)首先注意前提條件：是一般四邊形還是平行四邊形.然后再從邊或?qū)蔷€的角度去判定.

法寶一：平行四邊形+一組鄰邊相等→菱形

例1 （2014年·南京）如圖l，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點.過點E作EF∥AB.交BC于點F

（l）求證：四邊形DBFE是平行四邊形.

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形DBFE是菱形？為什么？

解：（1）因D，E分別是AB，AC的中點，故DE是△ABC的中位線，DE//BC.又EF//AB，所以四邊形DBFE是平行四邊形，

（2）當(dāng)AB=BC時，四邊形DBFE是菱形，理由如下：

因D是AB的中點，故

因DE是△ABC的中位線，故

因AB=BC，故BD=DE.故平行四邊形DBFE是菱形.

法寶二：平行四邊形+對角線互相垂直→菱形

例2 （2014年·北京）如圖2，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD、交BC于點E.BF平分∠ABC，交AD于點F.AE與BF交于點P.連接EF.求證：四邊形ABEF是菱形，

分析：由角平分線的定義、平行四邊形的性質(zhì)易得AB=AF，AB=BE，于是得AF與BE平行且相等，證得四邊形ABEF是平行四邊形.由平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義可得∠APB =90°，從而可以利用“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”證得結(jié)論.

簡證：因AE平分∠BAD，故∠BAE=∠FAE.

因四邊形ABCD是平行四邊形，故AD//BC，所以∠FAE=∠BEA.

∴∠BAE=∠BEA，AB=BE.同理得AB=AF

下略，見“分析”.

法寶三：四邊形+四條邊相等→菱形

例3 （2014年·淮安）如圖3，在三角形紙片ABC中，AD平分∠BAC.將△ABC折疊，使點A與點D重合，展開后，折痕分別交AB，AC于點E，F(xiàn).連接DE，DF.求證：四邊形AEDF是菱形.

證明：因AD平分∠B4C，故∠BAD=∠CAD.

將△ABC折疊，使點A與點D重合，知點A，D關(guān)于直線EF對稱.

∴AE=DE，AF=DF，EF⊥AD.

∴∠AOE=∠AOF=90°.

由對稱性可知AE=DE，AF=DF

∴AE=DE=DF=AF四邊形AEDF是菱形，

法寶四：四邊形+對角線互相垂直平分→菱形

例4（2014年·新疆）如圖4，已知△ABC.按如下步驟作圖：

①分別以A，C為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；

②作直線PQ，分別交AB，AC于點E，D，連接CE；

③過C作CF//AB，交PQ于點F，連接AF.

（1）求證：△AED全等于△CFD.

（2）求證：四邊形AECF是菱形.

簡證：（1）由作圖可知PQ為線段AC的垂直平分線，于是AD=CD.再根據(jù)CF//AB，可得∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD.利用“角角邊”可以證明兩個三角形全等.

（2）因△AED全等于△CFD，故ED=FD.

又由作圖可知PQ為線段AC的垂直平分線，

∴EF與AC互相垂直平分，

∴四邊形AECF是菱形.