三角形中位線應用多

編者按：中位線具有平行第三邊且等于第三邊的一半的性質.這些性質在涉及中點、或中線的題目中往往可、以發揮重要的解題作用，一些題目中有證明一條線段是另一條線段的2倍的要求，這種情況下也可以考慮是否有或是否可構造中位線，

一、求線段的長度

側1 （2014年·河北）如圖1，△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點.若DE=2，則BC=（）.

A.2

B.3

C.4

D.5

解：根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，可得BC=2DE=4.選C.

二、求角度

例2（2014年·瀘州）如圖2，等邊△ABC中，點D，E分別為邊AB，AC的中點.則∠DEC的度數為（）.

A. 30°

B. 60°

C. 120°

D. 150°

解：由等邊△ABC得∠C=600.由三角形中位線的性質知DE//BC.

∴ ∠DEC=180°-∠C=120°.選C.

三、求三角形的周長

例3 （2014年·婁底）如圖3，平行四邊形ABCD的對角線AC.BD交于點O，點E是AD的中點，△BCD的周長為18.則△DEO的周長是____.

分析：根據平行四邊形的性質得出△DEO的周長是.又△BCD的周長為18，故代入即可求出答案.

四、求三角形的面積

例4 （2014年·揚州）如圖4，△ABC的中位線DE=5cm.把△ABC沿DE折疊，使點A落在邊BC上的點F處.若A，F兩點間的距離是8cm，則△ABC的面積為_____cm2.

解：根據對稱軸垂直平分對應點連線，可知AF⊥DE，故AF⊥BC，即AF就是△ABC中BC邊上的高，再由中位線的性質可求出BC=2DE=1Ocm.繼而可得△ABC的面積為

點評：解本題的關鍵是判斷出AF是△ABC的高.

五、用于判定和證明

例5 （2014年·宿遷）如圖6，在△ABC中，點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，AH是邊BC上的高.

（l）求證：四邊形ADEF是平行四邊形.

（2）求證：∠DHF=∠DEF

分析：（1）根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，可得EF//AB，DE//Ac.再根據平行四邊形的定義即可證明.

（2）根據平行四邊形的對角相等可得∠DEF=∠BAC.根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DH=AD，FH=AF，故△ADH和△AFH都是等腰三角形.可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA.進而得出∠DHF=∠BAC.等量代換后即可得到∠DHF=∠DEF

點評：本題考查了三角形的中位線的性質，等腰三角形的性質以及直角三角形斜邊上的中線的性質等.熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵.

練習：

1.已知三角形三邊長分別為a，b，c.它的三條中位線組成一個新的三角形，這個新三角形的三條中位線又組成一個小三角形，這個小三角形的三條中位線又組成一個新的小三角形.則最小的三角形的周長是（）.

2.如圖7.△ABC中，如果AB=30cm，BC=24cm，AC=27cm，AE=EF=FB，EG//DF//BC、FM//EN//AC，則圖中陰影部分的三個三角形的周長之和為______.

參考答案

1.D

2.81cm