平行四邊形的定義、性質與判定

人教版初中數學教科書的第十八章《平行四邊形》的主要內容有：（一）平行四邊形的定義、性質和判定；（二）特殊的平行四邊形（矩形、菱形和正方形）的定義、性質和判定，通過學習這些內容，同學們將對幾何圖形中的一類重要圖形——平行四邊形有更深入的認識.

一、一般平行四邊形的定義、性質和判定

1.定義

同學們在小學數學中已經接觸過平行四邊形.在現實世界中，形狀為平行四邊形的物體比比皆是.圖1是一個花壇的平面圖，它由三種形狀不同的平行四邊形組成.每種平行四邊形各有4個，安排在不同的位置上，

一種幾何圖形的內涵式定義，是對這種圖形最基本的特征的揭示.盡管有形形色色的平行四邊形，但它們都有共同的最基本的特征，即“兩組對邊分別平行”.于是，平行四邊形就被定義為：兩組對邊分別平行的四邊形.

2.性質

研究圖形的性質，就是在確定考查的對象是某種圖形后，再考慮還有哪些結論適合于它.雖然一種圖形的定義給出了這種圖形的最基本的特征，但是定義本身不一定能夠直接反映出這種圖形的所有性質.通常，我們可以利用定義進一步推導出圖形所具有的最基本特征之外的其他特性，根據平行四邊形是“兩組對邊分別平行的四邊形”，利用三角形全等就可以推導出平行四邊形的“對邊相等”“對角相等”“對角線互相平分”等一系列性質.在這些性質的推導過程（如圖2）中，三角形這一最簡單的多邊形發揮了重要的作用.

實際上，圖形的所有性質都是由圖形的定義確定的.雖然定義本身并未直接表述出所有的性質，但是在定義中已經隱含了它們.以定義為出發點，可以逐步推導出所有的性質.教科書中通常在給出一種圖形的定義后，會繼續討論由它能進一步推出哪些結論，即得出經常會用到的這種圖形的某些主要性質.當然，這種圖形很可能還有一些教科書未曾提及的其他性質.例如，平行四邊形除了具有教科書中所說的“對邊平行且相等”“對角相等”“對角線互相平分”等主要性質之外，還有“對角線的平方和等于四條邊的平方和”這個性質.它可以證明如下，

如圖3，作平行四邊形ABCD的高線DE.CF.利用全等三角形可以證明AE=BF.

3.判定

圖形的判定，是討論圖形時須研究的另一類問題.這是指，當一個對象滿足哪些條件時，就可以確定它屬于某種圖形的范疇.例如，當一個圖形滿足哪些條件時，就可以確定它是平行四邊形.除了用是否符合定義來判斷一個對象是否屬于某種圖形的范疇之外，還可以通過檢驗對象是否滿足定義以外的一些其他條件，來完成這樣的判斷.這樣的條件叫做判定條件.所謂判定條件，就是可以由其推導出“定義巾的條件”的那些條件，例如，我們看一個四邊形是否為平行叫邊形，可以看它是否滿足“一組對邊平行且相等”或者“兩組對邊分別相等”或者“兩組對角分別相等”或者“對角線互相平分”，因為由這些條件葉1的任何一個條件，都可以推導出四邊形的“兩組對邊分別平行”，所以滿足上述任何一個條件的四邊形都是平行四邊形.在得出這些判定條件的推導過程中，同樣利用了全等三角形，例如，由四邊形的“對角線互相平分”，通過全等三角形，可以推導出“對邊互相平行”（圖4）.

4.“性質”和“判定”的關系

圖形的性質和判定，是兩類不同的問題，討論一種圖形的性質，是在確定對象已經是某種圖形的前提下進行的；討論一種圖形的判定，是為了確定對象是某種圖形.有時，在分析某個問題的過程中，這兩類問題都會出現.請看下面的問題.

已知在四邊形ABCD中，對角線AC和BD互相平分，試問：四邊形ABCD的四條邊與兩條對角線有什么關系？

由對角線AC和BD互相平分，可以知道四邊形ABCD是平行四邊形.由此又可以知道AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2，即四邊形ABCD的四條邊的平方和等于對角線的平方和.

在這個問題的分析過程中，既有“判定”又有“性質”.第一步是判定四邊形ABCD是平行四邊形，第二步則是應用了前面說過的平行四邊形的性質，

一種圖形具有某條性質，是否就可以反過來把這條性質當作這種圖形的一個判定條件呢？不是，并不是一種圖形的每個性質都可以拿來作為這種圖形的判定條件的.例如，平行四邊形也具有“內角和為360°”的性質，但這是任一四邊形都具有的性質，所以它并不能作為平行四邊形的判定條件.有些性質是平行四邊形所獨有的，其他圖形不具備，例如“對邊相等”“對角相等”“對角線互相平分”等，這樣的性質才可以反過來作為平行四邊形的判定條件，

二、特殊平行四邊形的定義、性質和判定

矩形、菱形和正方形是三種特殊的平行四邊形.

1.定義

特殊圖形的定義方式，通常是以一般圖形為基礎，再加上特殊圖形的最基本的特征.這些特征是區別特殊圖形與其他圖形的標志.

特殊平行四邊形的定義結構：

同學們會發現，矩形和菱形都是以平行四邊形為基礎再加上特殊限定條件而定義的，所以它們是特殊的平行四邊形.而正方形顯然是在四邊形的基礎上定義的，為什么也說它是特殊的平行四邊形呢？正方形即正四邊形，而正n邊形統一定義為“n條邊都相等，n個角都相等的n邊形”，所以正方形采川了如上的定義.但由正四邊形的“四條邊都相等”或“四個角都相等”，都可判定正四邊形是平行四邊形，所以正方形是特殊的平行四邊形，而且它兼具菱形和矩形的基本特征.它是特征更多的平行四邊形.

四邊形、平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的關系如圖5所示.圖6也能表示平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的包含和從屬關系.

2.性質

特殊平行四邊形除了具有一般平行四邊形的性質之外，還有它自己的特性，從特殊平行四邊形的定義出發，利用它的最基本的特征，還可以進一步得出一些其他特性.這些推導要用到一般平行四邊形的性質以及全等三角形的性質等.

3.判定

特殊的平行四邊形除了可以根據定義判定之外，還有一些其他的判定條件，推導這些判定條件要用到一般平行四邊形的性質以及全等三角形的性質等，邊、角和對角線是四邊形中的基本元素，也是判定條件中的考查對象，只有當它們滿足判定條件中的全部要求時，才能作出判定.只滿足判定條件中的部分要求時，則不能下結論.例如，對角線要滿足“相等”“互相垂直”“互相平分”三個條件時，才能判定四邊形是正方形.如果只知道一個四邊形的“對角線相等且互相垂直”，則不能輕易斷定該四邊形是正方形，圖7的箏形就是反例，它的兩條對角線相等且互相垂直，但不滿足“互相平分”，顯然它不是正方形，也不是平行四邊形.