求最短路徑問題的策略與方法

摘 要：求最短路徑問題是歷年數(shù)學(xué)中考中的常見題型，常在中檔題和壓軸題中出現(xiàn)。2015年全國各地中考數(shù)學(xué)試題中，此類問題更是呈現(xiàn)形式多樣，考法豐富多彩，較好地考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識靈活解決問題的能力。求最短路徑問題常常以求兩條線段之和最小值的形式出現(xiàn)，以基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”建立的具體數(shù)學(xué)模型，是解決最短路徑問題的依據(jù)。探尋解題策略、尋找轉(zhuǎn)化方法是解決此類問題的關(guān)鍵。具體解決問題時(shí)的通性通法是：定點(diǎn)移位；獲得等線；運(yùn)用模型，化二為一；根據(jù)題設(shè)，求出結(jié)果。基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”，簡潔明了，淺顯易懂，簡單結(jié)論之中蘊(yùn)含著大智慧。因此，我們的教學(xué)應(yīng)該做到“知其事，明其理，用其魂”。

關(guān)鍵詞：基本事實(shí)；數(shù)學(xué)模型；策略方法；轉(zhuǎn)化

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2015）36-0053-06

求最短路徑問題是歷年數(shù)學(xué)中考中的常見題型，在選擇、填空和解答題中均有體現(xiàn)，其靈活多變的考查形式，較易與其他知識融合的顯著特點(diǎn)，受到許多命題者的青睞。

在中考數(shù)學(xué)試題中，求最短路徑問題常常以求兩條線段之和最小值的形式出現(xiàn)，并以特殊三角形、特殊四邊形和函數(shù)圖象等初中數(shù)學(xué)中的核心知識為載體，以考查學(xué)生靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想方法為目的，通過操作探究、推理論證、靈活求解的方式來解決問題。此類問題的解決是以基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”為依據(jù)，以探尋轉(zhuǎn)化方法為核心，實(shí)現(xiàn)對學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題能力的全面考查。此類題目充滿了探究性和思辨性，常常在中檔題和壓軸題中出現(xiàn)。

如何利用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”，解決最短路徑問題呢？

一、建立數(shù)學(xué)模型

基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”，從宏觀上說明了“兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。”在解決問題時(shí)，此基本事實(shí)常常以下面的具體模型呈現(xiàn)：

數(shù)學(xué)模型：如圖1，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線l 的兩側(cè)，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動點(diǎn)，連接AB、PA、PB，則有PA+PB≥AB。

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”這一基本事實(shí)可知：PA+PB≥AB，即當(dāng)點(diǎn)P與AB和直線l的交點(diǎn)O重合時(shí)，PA+PB=OA+OB的值最小，最小值即為線段AB的長。因此，在求兩條動線段之和的最小值時(shí)，我們只要能夠?qū)蓷l線段轉(zhuǎn)化為一條線上的一個(gè)動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)（在這條線的兩側(cè)）的兩條線段之和的形式，就可以直接應(yīng)用這個(gè)數(shù)學(xué)模型來解決問題。

二、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

結(jié)合2015年全國各地中考數(shù)學(xué)試卷中，有關(guān)求最短路徑問題的部分題目，探究解決此類問題的具體策略與方法。

（一）單動點(diǎn)類問題

單動點(diǎn)類問題是指一個(gè)點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動，求它到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和的最小值問題。在此類中考數(shù)學(xué)試題中，給出的兩個(gè)定點(diǎn)常常是在已知直線的同側(cè)。解決此類問題，常用的方法是：將其中的一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)移到動點(diǎn)所在直線的另一側(cè)，使其滿足動點(diǎn)到該定點(diǎn)和轉(zhuǎn)移后的點(diǎn)之間的距離相等，這樣就可運(yùn)用這個(gè)數(shù)學(xué)模型，將求兩條線段之和的最小值問題，轉(zhuǎn)化為求一條線段長度的問題。

通性通法：（1）定點(diǎn)移位：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，過其中一個(gè)定點(diǎn)作線段，使動點(diǎn)所在的直線是所作線段的垂直平分線；（2）獲得等線：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理，動點(diǎn)到所作線段兩端點(diǎn)的距離相等；（3）運(yùn)用模型，化二為一：根據(jù)基本事實(shí)的具體數(shù)學(xué)模型，連接另一定點(diǎn)和所作線段的新端點(diǎn)，所得線段的長即為所求兩條線段之和的最小值；（4）根據(jù)題設(shè)，求出結(jié)果。

1.特殊三角形為背景

【原題再現(xiàn)】例1（2015·四川攀枝花第15題）：如圖2，在邊長為 2 的等邊△ ABC 中，D 為 BC 的中點(diǎn)，E 是 AC 邊上一點(diǎn)，則 BE+DE 的最小值為 。

【探究方法】本題屬于直接求兩條線段之和的最小值問題，且兩定點(diǎn)B、D在動點(diǎn)E所在線段AC的同側(cè)，因此，可分兩大步驟解決問題：（1）轉(zhuǎn)化：因?yàn)辄c(diǎn)B是等邊△ ABC的一個(gè)頂點(diǎn)，AC是點(diǎn)B的對邊，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)（三線合一），過點(diǎn)B作BO⊥AC，垂足為O，延長BO到點(diǎn)B′，使OB′=BO，則有AC和BB′互相垂直平分，連接EB′，則有B′E=BE；連接DB′，則線段DB′的長即為BE+DE 的最小值（如圖3）。（2）求值：如圖3，過點(diǎn)D作DG⊥AC，垂足為G，設(shè)DB′交AC于點(diǎn)F，則有Rt△DFG ∽Rt△B′FO，易得，OB′=BO=■×2=■， OG=■OC=■AC=■，DG=■BO=■OB′。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得■=■=■，所以O(shè)F=2GF=■OG=■，在R△ B′FO中，F(xiàn)B′=■=■■，所以DF=■FB′=■■，故DB′=■。

【思維拓展】（1）如果將點(diǎn)D轉(zhuǎn)移到直線AC的另一側(cè)，應(yīng)如何作出所求的線段并求得結(jié)果呢？（2）你能直接求出DB′的長度嗎？試試看。（事實(shí)上，過點(diǎn)B′作B′H⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)H，構(gòu)造出Rt△ B′DH，解此直角三角形即可。）

2.特殊四邊形為載體

（1）正方形

【原題再現(xiàn)】例2（2015·貴州安順第17題）：如圖4，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE=1，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，AF=2，P為AC上一個(gè)動點(diǎn)，則PF+PE的最小值為 。

【探究方法】（1）轉(zhuǎn)化：因?yàn)檎叫问顷P(guān)于對角線所在直線對稱的軸對稱圖形，所以作點(diǎn)E關(guān)于對角線AC所在直線的對稱點(diǎn)E ′，點(diǎn)E ′落在BC的對應(yīng)線段CD上，連接E ′F，則E ′F即為所求。（如圖5）。（2）求值：如圖5，過點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，易得，DE′=BE=1，DG=AF=2，F(xiàn)G=AD=4，所以在Rt△FGE′ 中，GE′=DG-DE′=1，根據(jù)勾股定理，得E′F=■。

【思維拓展】（1）如果將題目中的條件“F為AB上的一點(diǎn)，AF=2”改為“F為邊AB上的一點(diǎn)，且F點(diǎn)到邊AB端點(diǎn)的距離為1”時(shí)，其他內(nèi)容不變，結(jié)果又如何呢？

（2）矩形

【原題再現(xiàn)】例3（2015·湖北孝感第16題）如圖6，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=2。對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過點(diǎn)B折疊矩形紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N，折痕BM與EF相交于點(diǎn)Q；再次展平，連接BN，MN，延長MN交BC于點(diǎn)G。

有如下結(jié)論：

① ∠ABN=60°； ②AM=1；

③■； ④△BMG是等邊三角形；

⑤P為線段BM上一動點(diǎn)， H是BN的中點(diǎn)，則PN+PH的最小值是■。

其中正確結(jié)論的序號是 。

【探究方法】在本題所給的五條結(jié)論中，我們重點(diǎn)對結(jié)論⑤進(jìn)行探究。在①中，連接AN（如圖7），易得△ABN為等邊三角形，所以∠ABN=60°，故①正確；在②中，易求出AM=■，所以②不正確；在③中，易得BN是MG的垂直平分線，QN是△MBG的中位線，所以BG=BM，QN=■，所以③不正確；在④中，易得∠BMG=60°，BG=BM，所以△BMG是等邊三角形，故④正確；在⑤中，由于定點(diǎn)H，N在折痕BM的同側(cè)，動點(diǎn)P在BM上，所以應(yīng)先“轉(zhuǎn)移定點(diǎn)”。因?yàn)镠，E兩點(diǎn)是等邊△ABN兩邊的中點(diǎn)，因此H，E兩點(diǎn)關(guān)于折痕BM對稱，連接PE（如圖7），則有PE=PH，根據(jù)基本事實(shí)的具體數(shù)學(xué)模型，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，PN+PH取得最小值，即線段NE的長就是PN+PH的最小值；其次求值。因?yàn)镹E是邊長為2的等邊△ABN邊AB上的高，所以PN+PH的最小值為2×■=■，故⑤正確。所以本題答案是①，④，⑤。

【思維拓展】如果將結(jié)論⑤改為“P為線段GM上一動點(diǎn)，H是BN的中點(diǎn)，則PQ+PH的最小值是■。”結(jié)論⑤還正確嗎？（提示：不正確，此時(shí)PQ+PH的最小值是■。）

3.函數(shù)圖象為依托

（1）拋物線

同拋物線相結(jié)合的最短路徑問題，常常是綜合類試題中所考查的部分內(nèi)容，一般情況下，雙定點(diǎn)選取拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，動點(diǎn)在拋物線的對稱軸上。

【原題再現(xiàn)】例5（2015·廣西柳州第26題）如圖8，已知拋物線y=-■（x2-7x+6）的頂點(diǎn)為M，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C。

（1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）在拋物線的對稱軸上找點(diǎn)R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和點(diǎn)R的坐標(biāo)；

（3）以AB為直徑作⊙N交拋物線于點(diǎn)P（點(diǎn)P在對稱軸的左側(cè)），求證：直線MP是⊙N的切線。

【探究方法】重點(diǎn)探究解決（2）的策略和方法。（1）y=-■（x-■）2+■，M（■，■）；（2）A，C兩定點(diǎn)是拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且在對稱軸x=■的左側(cè)，動點(diǎn)R在對稱軸上。①轉(zhuǎn)化：根據(jù)拋物線的對稱性，A點(diǎn)關(guān)于直線x=■對稱點(diǎn)是B點(diǎn)，連接BC（如圖9），由基本事實(shí)的具體數(shù)學(xué)模型可知，BC與對稱軸的交點(diǎn)即為R，連接AR，此時(shí)CR+AR的值最小，其最小值為線段BC的長。②求值：根據(jù)拋物線的解析式，求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，易得A（1，0），B（6，0），C（0，-3）。在Rt△OBC 中，根據(jù)勾股定理，求出BC=■=■=3■；再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=■x-3，當(dāng)x=■時(shí)，y=-■，所以點(diǎn)R的坐標(biāo)為（■，-■）。（3）略。

（2）雙曲線

同雙曲線相結(jié)合的最短路徑問題，也常常是綜合類試題中所考查的部分內(nèi)容，一般情況下，雙定點(diǎn)在雙曲線上，動點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。

【原題再現(xiàn)】例6（2015·四川成都第19題）如圖10，一次函數(shù)y=-x+4的圖象與反比例函數(shù)y=■（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點(diǎn)。

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的面積.

【探究方法】（1）y=■，B（3，1）。（2）A，B兩點(diǎn)是在x軸上方雙曲線上的兩個(gè)定點(diǎn)，動點(diǎn)P在x軸上。①轉(zhuǎn)化：作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′（如圖11），得到B′（3，-1），連接AB′，由基本事實(shí)的具體數(shù)學(xué)模型可知，AB′與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，連接PB，此時(shí)PA+PB=AB′，其值最小。②求值：易得直線AB′的解析式為y=-2x+5：，當(dāng)y=0時(shí)，得x=■，所以，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（■，0）。設(shè)y=-x+4交x軸于點(diǎn)C，則C（4，0），所以，S△PAB=S△APC-S△BPC=■。

【思維拓展】如果將（2）中“在x軸上找一點(diǎn)P”改為“在y軸上找一點(diǎn)P”，其他內(nèi)容不變，應(yīng)如何求解呢？（答案：B（0，■），S△PAB=■。）

（二）雙動點(diǎn)類問題

雙動點(diǎn)類問題是指兩條線段各有一個(gè)端點(diǎn)或一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在兩條線上運(yùn)動，求兩條線段之和的最小值問題。雖然此類中考數(shù)學(xué)試題，仍然需要運(yùn)用上面的數(shù)學(xué)模型來解決，但是，轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)模型的過程需要學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力和一定的創(chuàng)新意識。

1.兩條線段各有一個(gè)端點(diǎn)在不同線上運(yùn)動

【原題再現(xiàn)】例7（2015·天津第15題）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中。點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，點(diǎn)E、F分別為線段BC、DB上的動點(diǎn)，且BE=DF。

（1）如圖12-1，當(dāng)BE=■時(shí)，計(jì)算AE+AF的值等于 。

（2）當(dāng)AE+AF取得最小值時(shí)，請?jiān)谌鐖D12-2所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段AE，AF，并簡要說明點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置如何是找到的（不要求證明） 。

【探究方法】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，易得AE+AF=■。（2）為解決問題（Ⅱ），我們先來探究：去掉（Ⅱ）中的格點(diǎn)背景，如何用尺規(guī)作圖的方法畫出線段AE和AF。

如圖13，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為BC、DB上的動點(diǎn)，且BE=DF。當(dāng)AE+AF取得最小值時(shí)，用尺規(guī)作圖畫出線段AE和AF。

① 畫線段AE。如圖13，延長DC到點(diǎn)D ′，使CD′=DC，連接BD′，則有∠CBD ′=∠CBD=∠ADB。以點(diǎn)B為圓心，DA長為半徑畫弧，交BD′于P點(diǎn)，即BP=DA。連接AP，則AP與BC的交點(diǎn)即為AE+AF取得最小值時(shí)點(diǎn)E的位置。理由：當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上的不同位置時(shí)（分別連接AE和PE），因?yàn)锽E=DF，所以△BEP≌△DFA，所以PE=AF恒成立，這就實(shí)現(xiàn)了將兩個(gè)動點(diǎn)重合，兩個(gè)定點(diǎn)分別在動點(diǎn)所在直線兩側(cè)的目的，因此，根據(jù)基本事實(shí)的具體數(shù)學(xué)模型，當(dāng)點(diǎn)E與AP、BC的交點(diǎn)重合時(shí)，AE+AF取得最小值。

② 畫線段AF。如圖13，在射線DC上截取DQ=DA，過Q點(diǎn)作QR⊥DQ，在射線QR上截取QR=AB，連接DR，在DR上截取DG=AB，連接AG，則AG與DB的交點(diǎn)即為AE+AF取得最小值時(shí)點(diǎn)F的位置。請你嘗試說明理由。

下面解決原題中的（Ⅱ）。如圖14，取格點(diǎn)H，K，連接BH，CK，相交于點(diǎn)P，連接AP，與BC相交，得點(diǎn)E，取格點(diǎn)M，N，連接DM，CN，相交于點(diǎn)G，連接AG，與BD相交，得點(diǎn)F，線段AE，AF即為所求。

【思維拓展】結(jié)合在無格點(diǎn)背景下，用尺規(guī)作圖找E、F兩點(diǎn)的方法，請你說明在圖14中，確定點(diǎn)E和點(diǎn)F的方法是正確的。

2.一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在不同線上運(yùn)動

【原題再現(xiàn)】例8（2015·湖北黃石第25題）如圖15-1和圖15-2，已知雙曲線y=■（x>0），直線l1：y-■=k（x-■）（k<0）過定點(diǎn)F且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1

（1） 若k=-1，求△OAB的面積S；

（2） 若AB=■■，求k的值；

（3）設(shè)N（0，2■），P在雙曲線上，M在直線l2上且PM∥x軸，求PM+PN最小值，并求PM+PN取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)。

（參考公式：在平面直角坐標(biāo)之中，若A（x1，y1），B（x2，y2），則A，B兩點(diǎn)間的距離為AB=■）

【探究方法】（1）S=2■；（2）k=-2或k=-■。（3）P點(diǎn)在雙曲線上，M、N兩點(diǎn)在雙曲線的同側(cè)。① 轉(zhuǎn)化：l1：y-■=k（x-■）（k<0）過定點(diǎn)F，對于直線l1，無論k取何值，都有x=■時(shí)，y=■，所以知F（■，■）。又點(diǎn)P在雙曲線上，可設(shè)P（x，■），則M（-■+■，■），連接PF（如圖16），所以PF=■=■，即PF=■=x+■-■=PM，所以PM+PN=PF+PN。連接NF（如圖16），NF交雙曲線于P ′點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)的具體數(shù)學(xué)模型可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合時(shí)，PM+PN取得最小值，最小值是線段NF的長，易得NF=2。此時(shí)NF所在的直線方程為y=-x+2■，由（1）知點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，即P（■-1，■+1），所以，PM+PN最小值是2，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（■-1，■+1）。

【思維拓展】本題屬于變式運(yùn)用基本事實(shí)的具體數(shù)學(xué)模型。事實(shí)上，在基本事實(shí)的具體數(shù)學(xué)模型中，無論條件怎樣給出，只要能夠?qū)⒕哂泄矂佣它c(diǎn)的兩條線段，轉(zhuǎn)化成動點(diǎn)到動點(diǎn)所在線兩側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)距離之和的形式，均可使用這個(gè)具體數(shù)學(xué)模型，來解決與兩條線段之和距離最短的相關(guān)問題。

三、教學(xué)建議

基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”，簡潔明了，淺顯易懂，簡單結(jié)論之中蘊(yùn)含著大智慧。因此，我們的教學(xué)應(yīng)該做到“知其事，明其理，用其魂”。

知其事：在初中階段的圖形與幾何中，“兩點(diǎn)之間線段最短”是我們首先要學(xué)習(xí)的基本事實(shí)之一。聯(lián)系生活實(shí)際，結(jié)合簡單圖形，學(xué)生較易獲得這一基本事實(shí)。

明其理：要真正理解這一基本事實(shí)，需要師生一起結(jié)合具體實(shí)例來完成。如，證明“三角形兩邊之和大于第三邊”就有助于加深對這個(gè)基本事實(shí)的理解，其中教師的教學(xué)方式（引導(dǎo)學(xué)生用其所知，解己所惑）卻起著至關(guān)重要的作用！

用其魂：靈活運(yùn)用這一基本事實(shí)解決具體問題，教材在“軸對稱”中給出了求兩條線段之和最小值問題的范例，不管是哪個(gè)版本的教材，其范例原型均與“將軍飲馬”問題有關(guān)。因此，在具體教學(xué)時(shí)，不妨用“將軍飲馬”問題導(dǎo)入，既具有較好的趣味性，又能緊扣主題，突出重點(diǎn)。

教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生親身經(jīng)歷從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，并嘗試建立與這一基本事實(shí)的聯(lián)系。教師要為學(xué)習(xí)困難的學(xué)生搭建“橋梁”，助其領(lǐng)會基本事實(shí)的內(nèi)涵和掌握解決具體問題的策略與方法。

總之，掌握運(yùn)用基本事實(shí)解決求兩條線段之和的最小值問題的策略和方法，還必須結(jié)合恰當(dāng)?shù)木唧w教學(xué)內(nèi)容，及時(shí)滲透，經(jīng)常運(yùn)用。例如，在進(jìn)行特殊三角形、特殊四邊形、函數(shù)和圓的有關(guān)知識的教學(xué)時(shí)，要不失時(shí)機(jī)地添加相關(guān)內(nèi)容，要將運(yùn)用這一基本事實(shí)解決具體問題常態(tài)化、系列化，并及時(shí)歸納提升。特別是在初三復(fù)習(xí)時(shí)，不僅要在每個(gè)專題中適時(shí)滲透，同時(shí)還要進(jìn)行專題訓(xùn)練，確保實(shí)現(xiàn)學(xué)生對此類問題的真正理解和掌握。