“函數(shù)奇偶性”教學(xué)片段的思考

摘 要：奇偶性是高中階段的重要數(shù)學(xué)概念，教學(xué)中準(zhǔn)確地理解奇（偶）函數(shù)，會判斷函數(shù)奇偶性，并能靈活應(yīng)用，對學(xué)生理解函數(shù)概念具有重要意義。通過對情境引入、定義與性質(zhì)、教學(xué)重點、教材把握的教學(xué)片段作比較分析，旨在不斷地研究反思，不斷提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：函數(shù)奇偶性；數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2015）36-0044-03

近期觀摩了幾位老師《函數(shù)的奇偶性》的教學(xué)，頗有感悟，所思為文，謹(jǐn)與各位老師共同探討。

一、理解課標(biāo)，分析教材

關(guān)于普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（必修1）（人教A版）（以下簡稱人教版教材）P33～36的教學(xué)內(nèi)容，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確要求：結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。《數(shù)學(xué)課標(biāo)解讀》中特別說明：在教學(xué)中，要重視圖形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，挖掘函數(shù)圖象對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，對數(shù)學(xué)的理解、數(shù)學(xué)思考的輔助功能；要注意幾何直觀的局限性，避免用幾何直觀代替邏輯證明的錯誤做法。

《教師教學(xué)用書》中也明確指出：研究函數(shù)性質(zhì)時的“三步曲”為：第一步，觀察圖象，描述函數(shù)圖象特征；第二步，結(jié)合圖、表，用自然語言描述函數(shù)圖象特征；第三步，用數(shù)學(xué)符號語言定義函數(shù)性質(zhì)。教科書在處理函數(shù)的奇偶性時，沿用了處理函數(shù)單調(diào)性的方法，利用圖象、表格探究數(shù)量變化特征，通過代數(shù)運(yùn)算、驗證發(fā)現(xiàn)的數(shù)量特征，在這個基礎(chǔ)上建立奇（偶）函數(shù)的概念。

綜上可見，從研究對象來看，奇偶性是從形到數(shù)，再從數(shù)到形，思維對象在數(shù)形之間不斷地轉(zhuǎn)換；從思維方式來看，有嘗試、歸納、猜想、直觀等合情推理，也有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理，思維方式在直覺與邏輯之間轉(zhuǎn)換；從語言形式來看，有自然語言、圖形語言、符號語言，問題表征在三種語言間轉(zhuǎn)換，學(xué)生思維在這三對轉(zhuǎn)換之間不斷地由粗糙到精致、由直觀到邏輯、由膚淺到深刻、由零碎到系統(tǒng)，得以自然的生長。

二、教學(xué)片斷，持續(xù)思考

（一）“生活問題數(shù)學(xué)化”與“數(shù)學(xué)問題生活化”

大部分老師通過生活中的實例，展示一些美麗的具有對稱性的圖片，通過感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生在對具體問題的體驗中感知概念。有的老師從具體函數(shù)圖象引入，回顧單調(diào)性的研究過程，從數(shù)學(xué)的問題出發(fā)，引入本節(jié)課。兩種方式均是在學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)上提出問題，引發(fā)學(xué)生在最近思維發(fā)展區(qū)積極思考，努力建立已有基礎(chǔ)與發(fā)展區(qū)之間的聯(lián)系。前者從一般軸對稱和中心對稱到特殊對稱，從生活中的“形”到數(shù)學(xué)中的“形”，從“形”規(guī)律到“式”的規(guī)律。后者采用“開門見山”的導(dǎo)入方式，充分利用教材的編排順序，直接點明要學(xué)的內(nèi)容，沿用單調(diào)性的研究方法，使學(xué)生的思維迅速定向，明確目標(biāo)、突出重點。情境引入環(huán)節(jié)，是“數(shù)學(xué)問題生活化”，還是“生活問題數(shù)學(xué)化”，值得我們探討。

（二）“奇偶性的定義”與“奇偶性的性質(zhì)”

有些教師從幾何的角度給出定義：如果函數(shù)的圖象是給出的，并且圖象是關(guān)于y軸對稱，這樣的函數(shù)就是偶函數(shù)；如果圖象是關(guān)于原點對稱，這樣的函數(shù)就是奇函數(shù)。人教版教材也是從幾何直觀的角度導(dǎo)出函數(shù)奇偶性的定義的。那么，我們是否可以用觀察圖象來判斷函數(shù)的奇偶性呢？

問題的關(guān)鍵在于，函數(shù)圖象是怎么畫出來的呢？學(xué)生剛從初中升入高中，所接觸的函數(shù)只是一些最基本的初等函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)。而這些函數(shù)的圖象是比較簡單的，可以通過描點連線得到。但是這樣得到的圖象是不精確的、粗糙的。另外，函數(shù)圖象千姿百態(tài)，并不是都簡單易畫的（當(dāng)然我們可以借助圖形計算器），那我們該如何判斷函數(shù)的奇偶性呢？

經(jīng)過這樣的思考，顯然只有嚴(yán)格推理，才能明確函數(shù)的奇偶性。即便是我們很清楚的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)也要通過定義去判斷去驗證。正是函數(shù)具有奇函數(shù)或偶函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)的圖象才一定會關(guān)于原點對稱或關(guān)于y軸對稱。至此，誰為定義誰為性質(zhì)一目了然。

（三）“判斷奇偶性”與“x的任意性”

大多數(shù)老師把“判斷函數(shù)奇偶性”作為教學(xué)的重難點，總結(jié)判斷的步驟。從教學(xué)出發(fā)，應(yīng)該把“x的任意性”作為重點，重頭戲應(yīng)該是用幾何直觀感受對稱，進(jìn)而用代數(shù)形式給這種對稱關(guān)系進(jìn)行一般性刻畫。前者，是從評價出發(fā)，受考試影響的結(jié)果。后者，是從認(rèn)知出發(fā)，努力尋找將已有知識納入到新學(xué)知識的途徑，利用已有的研究方法來研究新的知識，讓新的知識能夠在已有的方法中持續(xù)生長。如，回顧研究函數(shù)單調(diào)性的過程與方法，重溫單調(diào)性中“任取”的突破過程，這樣做都是為了讓知識能夠自然而順利的生長。如果只是停留在對知識的死記硬背，追求概念教學(xué)的最小化和習(xí)題教學(xué)的最大化，那么學(xué)生對知識的理解只能是機(jī)械的、零碎的。

（四）“整體到局部” 與“局部到整體”

如果把函數(shù)的一個個具體的知識看作“樹木個體”，把與函數(shù)相聯(lián)系的知識與方法看作“森林整體”的話，教學(xué)中就要處理好“樹木個體與森林整體”的關(guān)系，要求既能夠從“個體”認(rèn)識“整體”，也能夠從“整體”認(rèn)識“個體”，兩個方面都不可缺少。為此，既要注重與函數(shù)相關(guān)知識與方法的認(rèn)識，又要注意對函數(shù)某一個特殊性質(zhì)的分析與理解。所以，在函數(shù)奇偶性教學(xué)中，要在函數(shù)概念“大背景”下展開教學(xué)與學(xué)習(xí)。

遺憾的是，很多教學(xué)沒有在認(rèn)識函數(shù)整體上下功夫。例如，函數(shù)圖象認(rèn)識，從奇偶性角度，就是知道函數(shù)圖象部分，再由部分推斷函數(shù)整體；反之，由整體推斷部分，具體的說就是“已知奇偶函數(shù)的一半圖象，求另一半圖象”。如果按照以下教學(xué)流程很難體現(xiàn)以上教學(xué)思想①展示生活或數(shù)學(xué)中的對稱現(xiàn)象；②從具體到一般，形成奇（偶）函數(shù)的概念；③通過例題或練習(xí)，規(guī)范判斷函數(shù)奇偶性的步驟；④課堂小結(jié)，布置作業(yè)。這個教學(xué)流程應(yīng)該說基本完成了函數(shù)性質(zhì)教學(xué)要求，但從更高要求，或者從提升學(xué)生研究函數(shù)能力角度看，對函數(shù)整體性認(rèn)識是有些欠缺的。事實上，人教版教材中不僅設(shè)置了一些從整體認(rèn)識函數(shù)圖象與性質(zhì)思考題（P35），還給出了相應(yīng)的練習(xí)題（P36練習(xí)中的第2題）。教材中如此安排，目的是想告訴學(xué)生：奇偶性是研究函數(shù)的一種工具，奇偶性就是對稱性，要從整體上理解函數(shù)的奇偶性。在已知函數(shù)奇偶性的前提下，若知道半個定義域的情況，可得出整個定義域內(nèi)的整體情況，體會由局部到整體的數(shù)學(xué)思想。對于教材的把握，我們應(yīng)該深入理解教材編寫者的意圖，活學(xué)活用教材，把蘊(yùn)涵的思想和方法顯化。

三、課堂感悟，教學(xué)啟示

教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù)。一節(jié)課成功與否，是要看有沒有高水平的思維活動，有沒有圍繞學(xué)科概念的本質(zhì)和主要的思想方法，有沒有在學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)上提出問題，引發(fā)學(xué)生在最近思維發(fā)展區(qū)積極思考，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，幫助其逐漸形成良好的學(xué)習(xí)方法。教學(xué)過程中，要精心設(shè)計帶有啟發(fā)性和思考性的問題，創(chuàng)設(shè)問題情境，使學(xué)生從被動地“聽”發(fā)展為主動地獲取和體驗數(shù)學(xué)概念，促使學(xué)生掌握知識、形成能力。

隨著時間的推移，數(shù)學(xué)中的具體知識將會被多數(shù)人遺忘，但數(shù)學(xué)中所承載的文化將會影響久遠(yuǎn)。學(xué)生在數(shù)學(xué)的課堂上，不僅學(xué)會具體知識，還應(yīng)掌握一定的研究方法，這對教師的要求將會更高。教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要不斷地以課標(biāo)、教材為本進(jìn)行教學(xué)研究，要從課堂教學(xué)研究向?qū)W科的整體把握轉(zhuǎn)變，不斷地進(jìn)行回顧反思，促使教學(xué)水平不斷提高。

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