對一節同課異構課的“CT”掃描

在一次幾何教學專題教研中，我們安排了四位教師同課異構《線段、角的軸對稱性》第一課時。在聽課反饋中我們采用了類似于醫學檢驗中的“CT”掃描法，各位聽課、授課的教師暢所欲言，對這一課時的教學組織案例分了四個橫斷面進行掃描和研討。

橫斷面一：線段的軸對稱性結論的得到

為得到結論1：線段是軸對稱圖形，結論2：線段的垂直平分線是它的對稱軸，四位教師探究活動可分為以下兩類。

[Ⅰ類]1.猜想：線段是軸對稱圖形

2.活動：每位同學拿出一張薄紙，在紙上畫一條線段，對折

3.觀察：折痕有什么特殊的幾何特征

4.發現：折痕是線段的垂直平分線

5.驗證：設折痕PQ交線段AB于點O，因為對折重合，所以OA=OB，∠POA=∠POB=90°

6.結論：線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸

[Ⅱ類]1.活動：每位同學拿出一張薄紙，在紙上畫一條線段AB，作線段AB的垂直平分線l，交AB于點O，把OA沿直線l翻折

2.發現：OA與OB重合

3.驗證：因為直線l垂直線段AB，所以∠1=∠2=90°，所以把OA沿直線l翻折，與OB在同一條射線上，又因為OA=OB，所以OA與OB重合

對Ⅰ類活動設計的幾個疑問：

1.為什么對折線段AB？（實際上已經默認了線段是軸對稱圖形，只要端點A、B重合就是對折，這是拿著第一個結論去導出第二個結論）

2.端點A、B怎么就能重合？如果不是薄紙，端點A、B怎樣確保重合？（教師可幫助學生回憶針孔法）

3.全班同學畫出的只是具體線段，能窮盡所有線段去折疊去驗證嗎？

對Ⅱ類活動設計的幾個疑問：

1.為什么作線段的垂直平分線而不是其他的直線？（活動的指向性太強，終究是知識的傳遞）

2.學生通過找中點畫垂線的方法精準嗎？（本節教材中給出的兩個練習很好地規避了這個問題）

重新思考：Ⅱ類活動并不是真正意義上的活動，還僅僅是知識傳授（活動中指定作線段的垂直平分線），弱化了學生數學思考的培養。Ⅰ類活動設計是有效活動，但僅有活動Ⅰ就得到結論是不嚴密的，教師應引導學生認識到，“線段的垂直平分線是它的對稱軸”的活動經驗是基于假設獲得的，我們不可能通過反復實驗驗證它的正確性，但可從全班同學的活動中抽象出線段的垂直平分線的概念，教師進而再引導學生反思：線段的垂直平分線為什么是線段的對稱軸（有學者稱之為“自反抽象”），以此為直接對象，進行推理，這樣由淺入深得到了知識，從而培養學生認識具體與抽象、特殊與一般的辯證關系。

掃描結論：經驗不能代替知識，但經驗可以轉化為知識。

橫斷面二：線段垂直平分線性質定理的得到

給出問題：線段AB的垂直平分線l交AB于點O，點P在直線上，PA與PB相等嗎？為什么？四位教師在課堂上都設計了組內交流環節，學生展示的成果有：度量法，圓規截取比較法，證明圖形全等，翻折重合。

重新思考：教學中還要引導學生認識，用度量法和圓規截取比較法得到的結論都只是活動中的經驗和猜想，會有誤差，需要得到證明。對稱是一種全等變換，因此教學中可以不具體呈現直角三角形全等的證明，而是將教學重點放在利用線段的軸對稱性進行合情推理上，激發學生對“變換幾何”的價值認同——運用圖形的運動研究圖形的性質。

掃描結論：發展學生的合情推理和演繹推理同樣重要。

橫斷面三：線段垂直平分線外的點到線段兩端距離不等的得到

教師首先引發學生思考：不在中垂線上的點P還具備“到線段兩端距離相等”這樣的性質嗎？學生通過目測或度量，發現不相等。然后引導學生采用化歸的方法，將未知的、較為復雜困難的問題轉化為已經解決或較容易解決的問題。

重新思考：“化歸法的核心思想是代表了相反方向上的思考和轉化”。這里具體的反方向轉化就是將點P“反轉到”中垂線上的點Q（見下圖），學生理解了這樣的轉化后，證明就水到渠成了。對于后續學習圓周角性質定理，學生也就不難理解將圓外（內）角反轉化為圓周角了。

掃描結論：從“廣度”與“深度”上研讀教材，深入淺出。

橫斷面四：教材中兩個練習題的處理

第1題是數學內部的知識應用：利用網格線畫線段PQ的垂直平分線;第2題是數學外部的知識應用：在公路旁設一個公共汽車站，設在什么地方，才能使A，B兩村到車站的距離相等？有教師將第2題作為問題引入，最后解決這個問題實現首位呼應。

研討中教師有兩個疑惑：練習1的價值是什么？練習2的解決似乎用了第二課時的定理“到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上”。

重新思考：尺規作線段的垂直平分線的理論依據是到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，本節課上是無法完成的，但是利用網格線能準確找到線段中點并作垂直（回顧舊知），練習1使學生明白網格是作線段垂直平分線的有效工具，對今后在平面直角坐標系中研究幾何圖形有幫助。練習2是培養學生的逆向思維，它的正確性就在于命題“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”（純粹性）和它的逆命題（完備性）都是真命題，所以有了線段垂直平分線的“集合”定義：{P│點P到線段兩端距離相等}，這樣的設置起到承上啟下的作用。

掃描結論：理解習題的設計價值，觸類旁通。

以上掃描的四個橫斷面合成了一個完整的“關聯式”活動：發現并證明線段的軸對稱性，利用它推導出線段中垂線的性質，運用和鞏固中垂線的性質。教學中要充分發揮每一個活動的價值，實現新課程標準中要求的“四基”的有效達成。

作者單位：江蘇鎮江市教研室