高中數學古典概率問題探討

摘要：高中數學古典概率問題是概率計算中一個十分重要的內容，也是學生學習的一個難點。古典概率能處理隨機現象，學生不易掌握其基本方法，所以在古典概率教學中，教師應當重視講授思考的方法和問題的解法，培養學生的思維能力。本文從創造性思維入手，多角度地分析了古典概率題型中的問題，以期不斷提高學生應對多種古典概率題型的能力。

關鍵詞：高中數學 " 古典概率 " 問題分析

一、古典概率與排列組合的關系

在等可能事件問題中，滿足某種條件A的事件發生的概率 P（A）=

。這里的m為 A 中包含的基本數件數 （也可以說是受條件 A 限制的事件發生的情況數目 ） ， n 是基本事件總數（也可以說是不受 A 限制的基本事件的情況數目 ）。所以，教師只有強化排列組合的教學，學生才能比較容易解決此類問題。

二、古典概率題型典型多角度思維例題分析

例1：袋中有a只黑球，b只白球， 它們除顏色不同外，沒有其他差別。現在把球隨機地一只一只摸出來 ，求第k次摸出的球是黑球的概率（1 ≤ k≤ a + b） 。

以下介紹幾種解法：

解法一：若把a只黑球和b只白球都看做是不同的，我們將所有的球都一一摸出依次放在排成一直線的 a + b個位置上，第 k 個位置只能是任一個黑球。

解析：設事件A={第 k 次摸出的球是黑球}（下同 ），則基本事件總數=（a + b） ！ 。

事件 A 包含的基本事件數= （a + b - 1 ） ！ ，故所求的概率

P（A ） = " " " " " " = " " "。

解法二：可以把a只黑球和b只白球都看做是不同的，然后只考慮前k次摸球，第k次摸到黑球。

解析：基本事件總數=Pka+b，事件 A 包含的基本事件數 =aPk -1 " 。故所求概率 P（A）= " " " " " " =

解法三：不區別同色球，仍把摸出的球依次放在排成一直線的 a + b 個位置上。基本事件總數就是從 a + b 個元素中取出 a 個元素的組合，事件 A 包含的基本事件數就是從 a + b - 1 個元素中取出 a - 1 個元素的組合。

解法：基本事件總數= " " "，事件 A 包含的基本事件數為 " " " " ，故所求概率 P（A ） = " " " 。

解法四：由題意可知，顯然每一個球在第 k次被摸出是等可能的，所以可以只考慮第k次摸球情況。

解法：基本事件總數= a + b，事件 A 所包含的基本事件數= a，故所求的概率 P（A ） = " " " 。

分析：解法一、解法二、解法四是把球看做獨立的，因此需要考慮球的順序，用排列法解決;解法三不區別同色球，因此不用考慮順序，用組合的方法即可。其實，我們可以發現本題的結果與 k 無關。在平常生活中有許多這樣的例子，如體育比賽前進行的抽簽，對各隊的機會均等，與抽簽的先后次序無關。本題是一個不放回的抽樣問題，有一定的典型性。這里的白球、黑球可以換為甲物、乙物或合格品、不合格品等，解法相同。

三、古典概率問題解法總結

1.建立恰當的概率計算模型

求事件的概率時，許多學生往往不知怎么入手， 這就要求教師根據題中所給條件，通過聯想、轉化、抽象等方法，找到問題的關鍵。如果教師能建立既新穎又巧妙的概率計算模型，就能使問題迎刃而解。在古典概率的計算中，通常有球入盒子模型、抽樣檢查模型、電路開關模型等類型。

2.運用概率公式轉化問題

對于比較復雜的事件，有時很難劃分成幾個簡單的事件，難以進行概率計算。這就要求學生根據概率的某些性質轉化問題，把復雜事件轉化為幾個簡單的事件之和，從而降低解題難度。

3.力求一題多解， 培養學生的發散思維能力

在學習古典概率時，學生普遍反映不易掌握其規律，習題難做，好不容易想到一種解法，其結果也不好驗證。這就要求教師拓寬學生的思維空間，培養學生的發散思維能力，引導學生一題多解、一題多用。如果能通過多種解答得出相同答案，那么將大大提高答案的準確性。

參考文獻：

[1]張奠宙，宋乃慶.數學教育學概論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]馬忠林.數學思維理論[M].南寧： 廣西教育出版社，2001.

（作者單位：江蘇省海門實驗學校）