數學實驗教學初探

☉江蘇省沭陽高級中學 王有茂

數學實驗教學初探

☉江蘇省沭陽高級中學 王有茂

在美國的諸多教育場所有這樣一幅標語：“聽了，我知道；看了，我理解；做了，我記得.”心理學研究也表明：聽可以記住10%的信息；看可以記住30%的信息；動手做可以記住90%的信息.這就說明在獲取信息的過程中，動手做的效果最佳.為了能在教學過程中給學生一個接觸科學、學習科學、感受科學的環境，創造學生多動手、多動腦的條件，教師可以在課堂教學過程中適當地穿插一些實驗教學.數學作為一門自然科學，當然也不能例外.

新課程理念正是基于此的一種數學教學實踐，新課程標準中對于動手實踐有了新的說明：讓學生積極參與知識的形成過程，主動建構概念，可以用操作實踐的方式（諸如數學實驗等）讓學生理解數學、運用數學、體會數學的實際價值；荷蘭著名的數學家和數學教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal，1905-1990）曾說過：“要實現真正的數學教育，必須從根本上以不同的方式組織教學，否則是不可能的.在傳統的課堂里，再創造方法不可能得到自由的發展，它要求有個實驗室，學生可以在那兒個別活動或是小組活動”.筆者認為：盡管從現階段數學教學來看，更多時候數學還是以純粹理論的方式在進行教學，是以形式化的特征在展示和考查，但是在新課程理念大方向的指引下，數學教學的趨勢勢必會向更側重動手實踐的一面傾斜，數學教學也將會類似物理、化學等學科更注重動手操作與親身實踐，隨著信息技術的不斷發展，還會為數學實驗教學增添更豐富和更新鮮的內容，提供更先進的手段.近年來，數學實驗一詞漸漸在各地新課程培訓和實施中嶄露頭角.國內外都有一些中小學開設了數學實驗室、“e-數學實驗室”或實驗角，準備各種各樣的教具、操作用具，許多用發現法教學的課就在數學實驗室中進行.我校是江蘇省數學技術與高中數學整合課程基地，建有數學實驗室，擁有諸如圖形計算器、平板終端、幻燈、幾何模型、實具等一系列數學實驗工具，還建設有云課程技術設備，筆者有幸參與了依托課程基地的省教育科學“十二五”規劃課題“基于云課堂的高中數學互動課程開發研究”的研究，觀摩了一些數學實驗課教學，也進行了一些數學實驗教學嘗試，頗有感想，在此與大家交流分享.

一、數學實驗的特點

1.開放性

數學實驗不必像物理、化學課中學生分組實驗那樣，用整節課比較規范地完成教師在實驗室中準備的實驗；也不一定要履行“預習—實驗—報告”的要求；也不一定都是借助實物教具，還可以通過數學軟件來完成.實驗的結果也不一定唯一，具有開放性.教師可以根據教學的要求，選擇不同性質的實驗.實驗的時間可以由幾分鐘到幾十分鐘不等.數學實驗要求做到開放性設計問題，放手讓學生借助工具，利用數學APP、網絡、資料實驗學習，最終讓學生解決問題；教師也不再是教書匠，應該是輔導者、參與者、組織者、交流者、歸納者、評價評估者，教師不能控制學生的思維，要大膽放開，真正相信學生，教師可以提供實驗的思維方法、實驗的規范性和邏輯性.

2.可操作性

數學實驗與一般的科學實驗類似，具備可操作性.數學實驗的目的是增加學生學習數學的趣味性，提高學生學習數學的積極性，增強學生對數學的應用意識，培養學生用所學的數學知識和計算機技術去認識問題和解決實際問題的能力.不同于傳統的數學學習方式，它強調以學生動手為主的數學學習方式.傳統的數學教育一般都是純理論的研究，曾經有人問挪威數學家阿貝爾，你為什么喜歡研究數學？而不是物理或天文學？阿貝爾說：“我喜歡最簡潔的東西，諸如一條線、一個面，甚至連研究的工具是那么的簡潔——只要一支筆就可以！”當然，這種純理論研究的數學時代在今天漸漸被多元化的研究方式所取代了，數學學習、研究的方式出現了諸如：數學情境研究法、數學實驗研究、數學與其他學科整合式的研究、數學研究性小組討論合作學習等，這些都提出了數學不再是以往的純理論方式的學習，而是具備可操作性動手實踐的新方向.

3.時代性

王長沛教授曾經講過：“學生是信息技術的原住民”，信息化時代的產生與發展，決定了數學實驗必然將大幅走進中學數學課堂.數學實驗中，由于計算機的引入和數學軟件包的應用，用數學APP來支持數學實驗教學，為數學思想與方法注入了更多、更廣泛的內容，使學生擺脫了繁重的、乏味的數學演算和數值計算，促進了數學同其他學科之間的結合，從而使學生有時間去做更多的創造性工作.現階段中學數學教學比較具備時代性特點的實驗主要依賴下列基本工具：計算機、手持技術、平板終端、圖形計算器、幾何教具等，這些工具都給數學實驗帶來了時代性的特征，隨著科技的發展，數學實驗必然會受到更先進工具的影響，其時代性特征不言而喻.

二、數學實驗的作用

1.促進主動學習，培養自主探究能力

數學實驗設計的初衷正是為了培養學生的實際動手能力和對知識的理解能力.新課程一直致力于學生對知識形成過程的引導，那么在一些可以使用數學實驗的課程中，將數學新知引入以數學實驗的方式來解決，教師的作用是引導學生完成對新知的操作和理解，而不是替代.在這些新知教學中，以數學實驗為知識學習的前沿，通過合理的教學設計和實驗裝備，將學生引入到這個操作環節中.這里需要指出：在實驗環節，教師最好的作用是“消失”.大量的研究已經表明，動手操作是學生最喜歡的教學方式，而對學生喜歡的方式進行這樣那樣的干預，會影響學生對于問題解決的創造力，容易抹殺學生的積極性.因此，筆者認為只要教學環節設計合理，把數學實驗操作還給學生，對于促進學生主動學習，培養其自學能力是一種極大的促進，這是真正符合新課程理念的主動探究、積極建構，而不是所謂的偽探究.圖1是筆者對于學生如何進行數學實驗操作的一個整體建構思路：

圖1

案例1“橢圓的定義”的引入教學.

在蘇教版“圓錐曲線”的第一節課中，集中介紹了圓錐曲線的三種曲線的定義，課本上雖然給出了一些實驗方案，但多數老師或是讓學生自行驗證，或是自己演示課件了事，而忽略了這一節課的教學目標，實際上這是一節很好的數學實驗課，對學生理解圓錐曲線的本質及后續的學習至關重要，做得好甚至會讓學生終身難忘.筆者對橢圓的定義引入作如下設計：

上課開始，讓學生利用幾何實驗室的圓錐曲面教具（或自制圓錐體）自由切割形成曲線，首先對各種曲線有一個感性認識，然后在圓錐曲面（透明的有機玻璃做成）內放入兩個球和一個橢圓面（有色透明），用Dandelin雙球發現橢圓的特性：到兩切點距離之和為定值，加深對橢圓的理解，最后讓學生動手畫出橢圓.

課程教具材料：一塊適當大小的木板、一根棉線、兩個釘子、一把小錘.

師：圓的定義是什么？

生：平面內到定點距離等于定值的點的軌跡.

師：我們如何畫圓呢？

師：如何畫橢圓呢？

生：把一個定點變為兩個定點.

師：那請大家來畫一下橢圓.

多數學生將釘子由一個變成兩個，畫出了大小不一的橢圓.（有的同學由于兩釘子間的距離太大，線被拉成了一條線段，有的直接線就短了，無法連接.讓各種情況的同學展示，大家進行評價糾正，適當調整線的長度后畫出了橢圓）

師：能歸納出橢圓的定義嗎？

生：到兩個定點的距離之和等于定值的點的軌跡.

內容：研究生認為現在的入學教育內容千篇一律，即陳舊又太單調，主要以說教為主。建議注重內容，加強內容層次，與時俱進，豐富有意義的內容才可以吸引學生主動參加。

師：為什么有的同學畫出了線段、有的同學畫不出來呢？

最終通過不斷補充修正，完善了橢圓的定義.

老師鼓勵幾何畫板水平高的同學，運用幾何畫板畫圖，最后老師演示，從而引出橢圓定義.還可讓學生觀察各個同學畫出的橢圓的大小、圓扁程度，啟發學生進一步研究其與線長、兩定點之間距離的關系，激發學生研究的興趣，為后面研究方程和幾何性質埋下伏筆.學生通過親身的實驗操作，通過動手、動腦、動口多種感官參與學習活動，不但掌握了學習數學的方法，而且從感性認識上升到了理性認識，發現了橢圓的內在規律，又培養了學生自主學習的能力、探究能力和合作學習能力.

2.優化課堂教學，加深知識理解層次

數學是形式化的、抽象的，但是抽象的背后也孕育著非形式化的手段.這種手段可以利用數學實驗來實現，比如以向量教學為例，向量是既有方向又有長度的量.學生初學向量總覺得非常別扭，向量的很多運算方式和法則與腦海中一維實數運算并不相同.筆者數次在向量運算法則教學中發現，僅僅依賴教師講述這些法則的適用性，只能使少數學生理解和掌握，大多數學生盡管依賴法則解決問題，但是對于法則為什么是這樣使用的原因知之甚少.

因此，筆者設計了向量法則教學的數學實驗，使其對教學增加了實效性的效果.學生親自參與和控制數學現象，身臨其境地了解數學現象產生的條件、變化過程及其規律.從而深刻地理解數學概念的意義和規律適用的條件，對知識的了解更深刻，掌握更牢固.

案例2在實數與向量的積第一課時教學時可采用實驗法.課前讓同學準備一盒火柴，先將一根火柴放在桌面上，把它看作向量a，火柴頭看作a的終點，然后作如下實驗：

①按第一根火柴的方向，首尾相連地連續排三根火柴得向量b；

②按第一根火柴的反方向，首尾相連地連續排三根火柴得向量c.

讓學生自己觀察它們的方向、長度與a的方向、長度之間的關系.分小組討論，然后各小組派代表發言，共同探討出結論，進而推廣到任意實數與向量相乘，歸納出數乘的定義（λ，a）.這樣使學生通過親身體驗，得出結論，獲取了成功的喜悅，又從特殊到一般引出定義.這種促使學生主動參與知識的形成過程的教學方法，既符合學生學習的認知規律，又突出了學生的主體地位.另外還可請同學用火柴驗證向量數乘的分配律.

從本節課的實際效果來看，學生興趣較濃，比較清晰地完成了對數乘定義的理解.這一實驗的成功對學生來說，既是對數學研究活動的一種體驗，又是掌握一種終身受用的治學方法；如此讓學生親自從實驗中得出結論，不僅可以激起學生的興趣，還可以使學生更容易理解知識.數學實驗教學具有刺激性的效果.學生在教師的指導下，獨立完成數學實驗，體現了對知識的再發現和重新探索的過程，通過實驗使學生在完成實驗的過程中品嘗到勝利的喜悅.

此外數學實驗對優化思維品質，培養創新能力，也都非常重要.學生在實驗的過程必然會產生新的問題，并對新出現的問題進行探索，通過不斷調整自己的思路，再實驗，再調整，直至解決，于無形中優化了思維品質，培養了自身的創新能力.

三、數學實驗的模式

筆者從數學實驗的操作方式進行小結，數學實驗的教學可以分為以下幾種模式：

1.自主探索式

這種模式要求把自主學習的空間還給學生，把自主學習的權力交給學生，把自主學習的過程讓給學生.教師的作用就在于創設自主學習的氛圍，激發自主學習的興趣，培養自主學習的能力，提供自主學習的支持，為學生創造成功的機會.

案例3平面內有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，求這n條直線的交點個數.

（1）畫圖觀察、猜想，由圖2可得：f（1）=0，f（2）=1，f（3）=3，f（4）=6.

圖2

由此可得f（1）=0，（f2）=（f1）+1，（f3）=（f2）+2，（f4）=（f3）+3.

猜想：（fn）=（fn-1）+（n-1）.

（2）用數學歸納法證明猜想（略）.

在這里，自己進行動手畫圖、觀察、分析、歸納、猜想的過程正是一項很有價值的思想實驗.通過親身的實驗操作，通過動手、動腦、動口多種感官參與學習活動，不但掌握了學習數學的方法，而且從感性認識上升到了理性認識，發現了其內在的規律.

2.師生協作式

師生協作式數學實驗要求在教學活動中，師生的人格地位平等，師生雙方共同參與，相互合作，一起組成教學活動中充滿活力的可交流和共享的資源.文中案例1即為師生協作式，此處不贅述展開.

3.生生協作式

讓學生以小組合作的方式來做，可以培養他們的團隊合作精神和人際交往能力，形成和發展他們的情感、態度、價值觀.例如，筆者曾經觀摩初中的一節“e-數學實驗室”公開課，課題是“一次函數的圖像”，每組同學在組長的統一安排下，各個組員對一次函數y=kx+b（k≠0）中的k、b進行不同賦值，利用圖形計算器，繪出圖像，小組成員對得出的圖像進行交流、觀察、比較、討論、歸納，進一步分析研究，最終得出了一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與k、b符號的關系，進而得出一次函數的性質.

總之，在數學教學中，其一，如果學生一眼就能看穿的結論，大可不必進行實驗操作，因為實驗教學僅僅是數學教學大花園中的一朵奇葩而已，花園只有爭奇斗艷，才能讓參觀者流連忘返.所以千萬不要動不動就實驗教學，畢竟數學是思維的體操，實驗驗證只是片段而已；其二，如果怕影響教學進度而放棄“數學實驗”也是很不可取的，因為“數學實驗”是一種過程教學，能很好地培養學生的探索精神和創新精神，符合新課標的要求，因而數學實驗教學必須把握好度，我們不能也不必要依賴于實驗方法來學習數學，但完全可以用實驗方法去探索真理、發現真理，培養學生的創新能力.F