探析高中數學教學中的分類討論思想

陳志鴻

【摘 要】分類討論是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，教師了解、掌握分類討論思想的一些相關內容，并且落實于平常的課堂教學中，能讓學生能比較輕松地領會、掌握并能應用這種思想方法，對減輕學生學習的難度和負擔具有重要意義。

【關鍵詞】分類；原則；逐級性；步驟；分類討論

分類討論是自然界中事物的不同屬性所要求的（比如，人可分為男人和女人），是分析問題、解決問題的需要，在數學中由于有些概念、性質、原理、公式受到不同條件的限制，圖形位置與參數取值的變化，條件與結論不唯一確定等，都需要分類討論。

分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種思想對于簡化研究對象，發展人的思維有著重要幫助。分類討論思想貫穿于整個高中數學，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于總結歸納數學知識，使所學知識條理化。對培養學生思維的條理性、縝密性及提高學生分面、周密地分析問題和解決問題能力都起到十分關鍵的作用。分類討論是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，有關分類討論的數學命題在高考試題中占有重要位置，是高考的必考內容。

一、分類的定義及原則

所謂分類，是把一個“屬概念”分為若干個“種概念”的邏輯劃分方法。用集合論的觀點來講，設研究的對象的全集為I，按照一定的標準將集合I劃分成若干個子集Ai（i=1，2，…，n），使得Ai=I（其中Ai∩Aj=，i≠j）。進行分類時要遵循以下兩個原則：

（1）合理性原則：劃分后的各個概念的外延的總和，應當與被劃分概念的外延相等（即Ai=I，簡稱完備性），劃分后各個概念之間不能重疊，它們之間的關系應當是互不相容的（即Ai∩Aj=，i≠j，簡稱互斥性），通常把這個原則稱為不重復也不遺漏原則。

（2）同一性原則：每次劃分的根據必須同一，即每一次劃分時，標準只能一個，不能交叉地使用幾個不同的劃分標準， 通常說成分類時用同一把尺子。

二、分類的逐級性

有些問題僅靠一次分類是不夠的，需對I中AK再進行分類，則稱之為A的二級分類，依次類推稱為三級分類，四級分類等，比如：空間兩直線的位置關系，首先以平面的基本性質進行一級分類（分為在同一平面內與不在同一平面內），然后抓住兩直線公共點的個數進行二級分類，因而在同一平面內的直線又分為相交直線與平行直線（或重合直線），在同級分類中標準必須統一，但不要求各級都用同一把尺子。

三、分類的對象與標準及解題的一般步驟

對哪一個對象進行劃分，有些問題很明顯（如指數，對數函數中的底數a），有些則比較隱蔽，需要認真分析，對同一個問題，不同的出發點和不同的思維方式所選擇的劃分對象也不盡相同，劃分對象選得好，解法就簡單，否則就復雜了，劃分的對象確定后，緊接著就要確定分類的標準，而確定分類的標準要根據題目的要求及已有的知識，具體情況具體分析，它雖然沒有統一的模式，但必須遵循就簡原則。用分類討論思想解題的一般步驟如下：

①確定分類討論的對象；

②進行合理的分類討論；

③逐類逐級分類討論；

④綜合、歸納結論。

四、分類討論的常見類型

①由數學概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數函數、對數函數等。

②由性質、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數學定理、公式、性質是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數列前n項和公式、函數的單調性。

③由數學運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數不為零，偶次方根為非負，對數中真數與底數的要求，指數運算中底數的要求，不等式兩邊同乘以一個整數、負數，三角函數的定義域等。

④由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限，點、線、面的位置關系等。

⑤由參數的變化引起的分類討論：某些含有參數的問題，如含參數的方程、不等式，由于參數的取值不同會導致所得結果不同，或對于不同的參數值要運用不同的求解或證明方法。

五、簡化或避免分類討論的幾種方法

①避開討論因素。

②慎選公式、定理、精簡分類因素。

③著眼全局整體，減少討論級數。

④變更主元位置，簡化復雜討論。

⑤進行變量代換，消除討論因素。

⑥等價轉化，避免分類討論。

⑦利用補集思想，解脫煩瑣討論。

⑧數形結合，避免分類討論。

⑨利用函數觀點，函數性質，簡化分類討論。

中學數學有不少定理、法則、公式、習題，都需要分類討論，在教授這些內容時，應不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現錯誤。數學分類討論思想，貫穿于整個高中數學的全部內容中，應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化，而分類的過程，可培養學生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進學生提高研究問題、探索規律的能力。

參考文獻：

[1]傅榮強.新課標.高中數學.高中數學思想方法[G].北京：龍門書局，2009。

[2]任永生.活用分類討論思想解決方程問題[J].數學學習與研究，2011，（04）。