新課改下初中數學思想方法應用初探

李雯婷

數學思想方法在數學新課程中對不同程度的學生應有不同層次的要求。我們可以對初中數學中最為基本的四種數學思想方法作一地些研究，便于在數學教學中能更好地解決以上的問題，能更好地實施新課程標準。

一、變量與函數

正如恩格斯所說：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了。”變量數學不僅以“動態”的方法和眼光看待客觀事物，使自然科學描述現實世界的運動和變化過程成為現實和可能，而且無限和連續的思想使數學自身的思想方法發生了重大變革，由此帶來整個數學面貌的根本性改觀。函數是數學從常量數學轉入變量數學的樞紐，它能使數學有效地揭示事物運動變化的規律，反映事物間的相互聯系。在數學新課程中強調函數思想，主要是從當今和未來社會發展看，函數思想在數學內部與外部均顯得十分重要，它貫穿于數學理論和實際問題應用的每一個場合。特別地，函數是有效地表示、處理、交流和傳遞信息的強有力工具，是探討事物發展規律、預測事物發展方向的重要手段。

還進一步指出的是，函數思想的建立和發展，不僅使數學思想方法產生了質的飛躍，而且溝通了常量數學與變量數學間的關系，引起了傳統數學觀的更新。在數學新課程學習中應當幫助學生樹立運用函數思想思考問題的意識，用函數的觀點來分析和解決方程、不等式、數列、三角等常量數學中的問題，并學會建立適當的函數模型解決問題。

二、符號化與模型化

1.符號化

數學是一個符號化的世界，數學符號就是數學的語言——世界上最通用的一種語言，它是數學抽象物的表現形式，是對現實世界數量關系的反映結果。

用符號來表示有關對象關系，具有有簡潔、明確的優點，增大了信息密度和思維容量，這樣抽象的形式有時反而帶來“思維的直觀”。例如用“=>”表示“推導”，用“A=>B”表示“A是B的充分條件”或“B是A的必要條件”，就顯得很直觀；又由于“=>”具有傳遞性，故在一連串的推論中，人們甚至不加思索地從箭頭指向中判斷出有關的兩個命題或詞項間的蘊涵關系。又如公式（a+b）2=a2+2ab+b2就是采用符號化語言來表述的，它是數學科學高度抽象性的具體體現。

2.模型化

數學模型是溝通數學基礎知識與數學應用之間的橋梁，是數學自身發展的階梯，研究模型有助于學生對數學的探索，同時使學生產生對數學學習的興趣，因而在數學新課程中十分強調數學模型化方法。

而對現實事物具體進行構造數學模型的過程稱為數學建模。從數學角度出發，數學建模是對所需研究的問題作一個模擬，舍去無關因素，保留其數學關系，以形成某種數學結構。數學建模作為一種學習方式在中小學受到重視，通過“做數學”達到“學數學”的目的。還要進一步強調的是，建立和處理數學模型的過程，不僅是將數學理論知識應用于實際問題的過程。更為重要的是學生能體會到從實際情境中發展數學、獲得“再創造”數學的絕好機會。在建立模型、形成新的數學知識的過程中，學生更能體會到數學與大自然和社會的天然聯系。為此，數學新課程積極探索“問題情境——建立模型——解釋與應用”的課程模式。

三、化歸思想

數學新課程中學生要學習的代數、幾何都是從研究簡單數式、簡單圖形開始，復雜數式、復雜圖形的問題都是通過轉化，歸結為簡單數式、簡單圖形而獲得解決的。例如，三角形是多邊形中最簡單的一種，研究了三角形以后，再研究多邊形的問題可以添加輔助線轉化為三角形的問題，由于三角形的問題是已經解決的，從而多邊形的問題就得以解決，這是一典型的化歸思想的運用。

化歸思想的實質是通過事物內部的聯系和矛盾運動，在轉化中實現問題的規范化（熟悉或易于處理），即將處理問題變化（轉化）為規范問題，從而使原問題得到解決。簡而言之，所謂化歸就是問題的規范化、模式化。

四、統計思想

所謂統計思想，就是要從統計初步知識中提煉并掌握一些處理數據的方法，并用來解決一些實際問題。統計思想是人們認識社會和自然界的優秀的科學思想之一，具有很大的理論價值、應用價值和教育價值。

數學新課程強調對學生進行統計思想的熏陶，使學生認識到統計對決策的作用，能從統計的角度思考與數據有關的問題；能通過收集、描述、分析數據的過程作出合理的決策；能對數據的來源、收集和描述數據的方法、由數據得到的結論進行合理的質疑。使他們了解條件是可以變化的、結論并不總是惟一的、結論不是絕對可靠的，事物的多樣性是普遍的，而必然性、絕對性則是相對的、有條件的。同時，通過統計的學習，還應該使學生形成尊重事實、用數據說話的習慣，了解必然性寓于偶然性之中，體會推理在研究復雜事物時的作用。因此，《標準》在總體目標中提出要使學生“經歷運用數據描述信息，作出推斷的過程，發展統計觀念”。

其實，大多數學生將來未必能用上任何較為高深的數學知識，而數學的思想方法則有著十分廣泛的普遍意義，即其不僅可以被用于數學的研究，而且可以被用于人類實踐活動的各個方面，數學思想方法的學習顯然應被看成義務教育價段的根本任務，在數學新課程中有充分的體現。