基于威布爾分布的汽車壽命估計(jì)方法

王亞菲，鄔海峰

(1.天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津300072;2.天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津300072)

現(xiàn)代汽車正不斷向更智能、更高速、更復(fù)雜、更安全等方向發(fā)展，一旦汽車中某部件發(fā)生故障，將直接影響整個(gè)機(jī)車設(shè)備的正常運(yùn)行，甚至威脅到消費(fèi)者的人身財(cái)產(chǎn)安全。準(zhǔn)確地預(yù)測汽車故障發(fā)生率，有助于提高汽車制造業(yè)的制造能力，提高汽車安全性能，降低汽車制造者的質(zhì)保成本。汽車的可靠性分析是預(yù)測汽車故障的核心問題，對于汽車制造者和使用者至關(guān)重要。

汽車壽命概率分布的參數(shù)估計(jì)是可靠性分析的重要環(huán)節(jié)，只有通過參數(shù)估計(jì)建立合理、精確的統(tǒng)計(jì)學(xué)模型，才可以準(zhǔn)確地預(yù)測汽車故障。通過分析汽車壽命數(shù)據(jù)對汽車壽命概率分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，是掌握汽車產(chǎn)品可靠性的關(guān)鍵。

威布爾分布作為一種可靠性模型，由于其合理化建模、數(shù)據(jù)擬合性好、解析表達(dá)式處理方便等優(yōu)勢，已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到了不同程度的應(yīng)用與發(fā)展［1-9］，它能有效地?cái)M合產(chǎn)品全壽命階段的壽命數(shù)據(jù)，也可用于模擬失效率的上升、恒定和下降情況。針對威布爾分布的汽車質(zhì)保數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)問題，文中對比了極大似然參數(shù)估計(jì)法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)法的精度，并通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的實(shí)用性，為商用汽車的可靠性評估提供直接而有效的參數(shù)估計(jì)方法。

1 威布爾分布模型

威布爾概率密度函數(shù)為

其中，t為汽車使用壽命;β為不同時(shí)期故障率曲線形狀的參數(shù);η為衡量平均故障間隔時(shí)間的尺度參數(shù)。威布爾累積分布函數(shù)為

生存函數(shù)S(t)和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)h(t)分別為

威布爾分布的密度函數(shù)、累積分布函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)分別如圖1～圖3所示。

圖1 威布爾分布的密度函數(shù)Fig.1 Probability density function of theWeibull distribution

圖2 威布爾分布的累積分布函數(shù)Fig.2 Cumulative distribution function of the Weibull distribution

圖3 威布爾分布的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)Fig.3 Hazard function of the Weibull distribution

由圖1～圖3中可以看出，形狀參數(shù)β值的不同獲得的曲線形狀有很大區(qū)別。

2 浴盆曲線

汽車在使用壽命期內(nèi)，故障發(fā)生率與使用時(shí)間有關(guān)。故障概率函數(shù)隨時(shí)間t發(fā)生變化，汽車在不同時(shí)間段內(nèi)故障率也不同。圖4反映了設(shè)備全期的故障分布，包括早期故障、偶然故障和磨損故障，因其整體形狀像浴盆，稱為浴盆曲線［10］。

圖4 浴盆曲線Fig.4 Bathtub curve

由圖4可以看出，當(dāng)β＜1時(shí)，故障率函數(shù)h(t)呈遞減分布，汽車有可能發(fā)生早期故障，適于建模早期失效;當(dāng)β=1時(shí)，h(t)為常數(shù)，汽車有可能發(fā)生偶發(fā)故障，適于建模隨機(jī)失效;當(dāng)β＞1時(shí)，h(t)呈遞增分布，汽車有可能發(fā)生磨損故障，適于建模磨耗或老化失效。威布爾分布的3種故障率β＜1，β=1，β＞1，正好與浴盆曲線的3個(gè)階段相對應(yīng)。

3 參數(shù)估計(jì)

威布爾分布的參數(shù)估計(jì)可采用最小二乘估計(jì)法［1］、矩估計(jì)法［2］、平均秩次法［3］、相關(guān)系數(shù)估計(jì)法［4］、雙線性回歸法［5］、灰色估計(jì)法［6］、極大似然估計(jì)法［7］和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法(ANN)［10］等。極大似然估計(jì)法在已知總體分布且樣本容量足夠大時(shí)，根據(jù)樣本觀測值出現(xiàn)的概率最大原則，估計(jì)總體中未知參數(shù)的估計(jì)值。極大似然估計(jì)法的結(jié)果大多具有無偏性、有效性和相合性，是一種最常見最有效的方法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型引入汽車可靠性研究領(lǐng)域?qū)⒂兄诟倪M(jìn)傳統(tǒng)可靠性理論的操作方法，使可靠性模型的建模操作向著智能化方向發(fā)展，從而拓寬可靠性工程的應(yīng)用領(lǐng)域。文中對比研究了極大似然估計(jì)法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法對汽車壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的結(jié)果。

3.1 極大似然估計(jì)法

在可靠性分析中，極大似然估計(jì)法被廣泛用于威布爾分布的參數(shù)估計(jì)。假設(shè)汽車壽命數(shù)據(jù)序列為ti，令xi為第i個(gè)樣本發(fā)生故障的時(shí)間，其中i=1，2，…，N，N為本批次生產(chǎn)N臺汽車進(jìn)行壽命實(shí)驗(yàn)。威布爾分布的似然方程為

通過對似然方程求解偏導(dǎo)數(shù)，可得到模型參數(shù)的極大似然估計(jì)結(jié)果:

將式(6)、式(7)進(jìn)一步整理得

式(10)只有一個(gè)自變量β，屬于單變量非線性方程，可通過Newton-Raphson迭代求解，形式如下:

其中，βk為迭代過程中第k次得到的結(jié)果;β0為初始迭代值。初始迭代值對此算法的收斂性具有一定影響，一般機(jī)械系統(tǒng)壽命估計(jì)可取形狀參數(shù)為1～10［9］。經(jīng)過迭代后可以得到 β 的估計(jì)值。然后通過式(8)得到η的估計(jì)值。

3.2 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法

在可靠性分析中，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法作為一種數(shù)學(xué)模型被廣泛地用于可靠性模型識別方法及參數(shù)估計(jì)方法中。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過W-H學(xué)習(xí)規(guī)則，或最小均方差算法(LMS)計(jì)算權(quán)值的變化，并且使網(wǎng)絡(luò)誤差的平方和最小化，能夠訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的誤差趨于最小值，且不需要導(dǎo)數(shù)，具有計(jì)算速度快和精度高的優(yōu)點(diǎn)。

針對基于威布爾分布的可靠性模型，可以采用如圖5中所示的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

圖5 威布爾分布參數(shù)估計(jì)的ANN結(jié)構(gòu)Fig.5 ANN structure of the Weibull distribution

該ANN結(jié)構(gòu)關(guān)系對應(yīng)為一元線性方程:

使用式(12)和式(13)的變換，可以將威布爾分布函數(shù)變換為

利用文獻(xiàn)［11］中的改進(jìn)型近似中位秩式(15)，可以直接計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(ti)并計(jì)算得到y(tǒng)。

其中:i為故障汽車的順序號;n為樣本數(shù)量。將x，y輸入ANN系統(tǒng)進(jìn)行若干次訓(xùn)練，訓(xùn)練結(jié)束后得權(quán)值W即為形狀參數(shù)β，閥值b為 －βln(η)，從而得到β和η的估計(jì)值:

4 應(yīng)用實(shí)例及分析

由實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)可知，汽車壽命近似服從威布爾分布。選用某型號汽車進(jìn)行壽命統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，在同樣的生產(chǎn)條件下，樣本數(shù)量為30，假設(shè)樣本數(shù)據(jù)服從β=1.001，η=3 569的威布爾分布，具體數(shù)據(jù)見表1。

極大似然估計(jì)法基于Matlab仿真平臺進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，采用Newton-Raphson法迭代若干次后，達(dá)到迭代結(jié)果收斂區(qū)間為2%，迭代時(shí)間為23.5 s。參數(shù)估計(jì)結(jié)果為=0.981=3 639。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法基于Neuro Modeler Plus［12］仿真平臺進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，采用W-H學(xué)習(xí)規(guī)則進(jìn)行1 000次訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)間為0.01 s。參數(shù)估計(jì)結(jié)果為=0.975=3 650。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的擬合結(jié)果如圖6所示，收斂曲線如圖7所示。

表1 汽車故障數(shù)據(jù)及中秩位法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Tab.1 Automobile life data and calculation of the distribution function using rank-bitmethod

圖6 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的擬合曲線Fig.6 ANN fitting results

圖7 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練收斂曲線Fig.7 Convergence curve of ANN＇s training error

由圖7可以看出，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練收斂速度很快，這也是運(yùn)算時(shí)間短的原因。

上述兩種方法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果與已知假設(shè)參數(shù)十分接近，并且精度相當(dāng)。極大似然估計(jì)方法對完整數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)都是適用的，這在基于汽車質(zhì)保數(shù)據(jù)的可靠性評估中更具實(shí)際意義。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)法運(yùn)算時(shí)間短，具有速度快精度高的優(yōu)點(diǎn);同時(shí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)法的精度對經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)精度的敏感性較高，通過提高經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的精度，可以進(jìn)一步提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)法的估計(jì)精度。

5 結(jié)語

為了對商用汽車的可靠性進(jìn)行評估，文中對比了基于二參數(shù)威布爾分布的極大似然參數(shù)估計(jì)法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)法，并將這兩種方法應(yīng)用到某商業(yè)汽車的汽車壽命數(shù)據(jù)分析中。通過實(shí)例在估計(jì)精度、計(jì)算速度和實(shí)踐意義上，對這兩種方法進(jìn)行對比并提出建議，兩種方法在數(shù)據(jù)適用性及運(yùn)算速度上各具優(yōu)點(diǎn)，精度相當(dāng)。

［1］徐微，胡偉明，孫鵬.基于兩參數(shù)威布爾分布的設(shè)備可靠性預(yù)測研究［J］.中國工程機(jī)械學(xué)報(bào)，2013，11(2):112-116.XUWei，HUWeiming，SUN Peng.Equipment reliability prediction based on dual-parametric Weibull distribution［J］.Chinese Journal of Construction Machinery，2013，11(2):112-116.(in Chinese)

［2］龔偉俊，李為相，張廣明.基于威布爾分布的風(fēng)速概率分布參數(shù)估計(jì)方法［J］.可再生能源，2011，29(6):20-23.GONGWeijun，LIWeixiang，ZHANG Guangming.The estimation algorithm on the probabilistic distribution parameters of wind speed based on Weibull distribution［J］.Renewable Energy Resources，2011，29(6):20-23.(in Chinese)

［3］于曉紅，張來斌，王朝暉.基于新的威布爾分布參數(shù)估計(jì)法的設(shè)備壽命可靠性分析［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2007，29(6):932-936.YU Xiaohong，ZHANG Laibin，WANG Zhaohui.Reliability life analysis of the equipment based on new Weibull distribution parameter estimation method［J］.Journal of Mechanical Strength，2007，29(6):932-936.(in Chinese)

［4］傅惠民，高鎮(zhèn)同.確定威布爾分布三參數(shù)的相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法［J］.航空學(xué)報(bào)，1990，11(7):323-327.FU Huimin，GAO Zhentong.An optimization method of correlation coefficient for determining a three-parameter Weibull distribution［J］.Acta Aeronautica Et Astronautica Sinica，1990，11(7):323-327.(in Chinese)

［5］莊渭峰.用微機(jī)實(shí)現(xiàn)威布爾參數(shù)的雙線性回歸最小二乘估計(jì)［J］.電子產(chǎn)品可靠性與環(huán)境試驗(yàn)，1999(5):2-7.ZHUANG Weifeng.The least square assessment of bilinear regression for Weibull parameters realized by microcomputer［J］.Electronic Product Reliability and Environment Test，1999(5):2-7.(in Chinese)

［6］郭強(qiáng).一種小子樣商用飛機(jī)系統(tǒng)可靠性評估方法［J］.噪聲與振動(dòng)控制，2010(1):114-117.GUO Qiang.Small sample approach for reliability evaluation of commercial aircrafts［J］.Noise and Vibration Control，2010(1):114-117.(in Chinese)

［7］范英，王順坤，晉民杰.多種數(shù)據(jù)狀態(tài)下三參數(shù)Weibull分布的極大似然估計(jì)［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2012，34(1):53-57.FAN Ying，WANG Shunkun，JIN Minjie.Maximum likelihood estimation of three-parameterWeibull distribution in wide range of data state［J］.Journal of Mechanical Strength，2012，34(1):53-57.(in Chinese)

［8］楊謀存，聶宏.三參數(shù)Weibull分布參數(shù)的極大似然估計(jì)數(shù)值解法［J］.南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，39(1):22-25.YANG Moucun，NIE Hong.Advanced algorithm formaximum likelihood estimation of three parameter Weibull distribution［J］.Journal of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2007，39(1):22-25.(in Chinese)

［9］肖偉，趙嵩正.設(shè)備可靠性與維修決策關(guān)系研究［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2004，23(1):85-86.XIAOWei，ZHAO Songzheng.Study on the relationship between plant reliability and maintenance decision［J］.Mechanical Science and Technology，2004，23(1):85-86.(in Chinese)

［10］敖長林.基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拖拉機(jī)使用可靠性研究［D］.沈陽:東北農(nóng)業(yè)大學(xué)，2000.

［11］麻曉敏，張士杰，胡麗琴.可靠性數(shù)據(jù)威布爾分析中秩評定算法改進(jìn)研究［J］.核科學(xué)與工程，2007，27(2):152-155.MA Xiaomin，ZHANG Shijie，HU Liqin.An improved rank assessmentmethod forWeibull analysis of reliability data［J］.Chinese Journal of Nuclear Science and Enineering，2007，27(2):152-155.(in Chinese)

［12］ZHANG Q J.Neuro Modeler Plus［CP/DK］.Ottawa，ON:Carleton University，2013.