具預警功能的可修復系統解的存在唯一性

李朗

(齊魯師范學院數學學院，山東濟南250013)

可靠性數學中主要的研究對象之一就是可修復系統，在現代工程系統中研究可修復系統具有重要的現實意義。由于實際需要，可修復系統正在向提前預警與故障出現自動修復相結合的方向發展，由此在可修復系統中設計預警功能具有重要的實際意義。

文中討論具有預警功能的兩不同部件可修復系統，利用泛函分析和半群中的定理證明系統非負時間依賴解的存在唯一性，為進一步研究系統解的特性及系統主算子的一系列特性提供理論基礎。

1 模型介紹

由于實際的需要，許多系統都具有預警功能，此功能可對系統具有保障作用［1］。文中研究關于兩不同部件并聯可修復系統［2］，相比較文獻［3］此系統具有預警功能，由此改變了文獻［2］的邊界條件P(0)∈D(A)。

假設系統的常規故障率和修復率是常數;失效系統修復率不是常數;系統在狀態C不發生部件故障而且修復后與原來系統一樣可以正常工作;t=0時刻，系統正常工作。記狀態0:兩部件都正常工作;狀態1:部件A故障，B正常工作;狀態2:部件B故障，A正常工作;狀態3:A，B同時故障;狀態4:A，B由共因引起的系統故障［3］;狀態C:預警狀態，由于常規原因引起故障但系統仍能正常工作。

此模型可用如下積分-微分方程組表示:

設(x，t)∈［0，∞)×［0，∞)，各個符號表示如下:pi(t)為系統處于狀態 i的概率，i=0，1，2，c;pj(x，t)d x為在［x，x+d x］內處于狀態 j時的概率，j=3，4;λa為部件A的故障率;λb為部件B的故障率;λc0狀態0到C的常因故障率;λc1狀態0到4的共因故障率;λc2狀態2到狀態4的共因故障率;λc3狀態1到狀態4的共因故障率;μa為部件A的修復率;μb為部件B的修復率;μi(x)為故障系統在狀態i并且修理時間為x的系統修復率且滿足:0≤μi(x)＜∞，成立。

下面簡記:

取狀態空間

則顯然(X，‖·‖)是一個Banach空間。取算子A的定義域:

pi(x)是絕對連續函數(i=3，4)且p3(0)=λbp1+λap2，p4(0)= λcpc+ λc1p0+ λc3p1+ λc2p2}，則上述系統可描述為狀態空間X中的一個Cauchy問題［4］:

2 主要結論

定理1［5］設算子A，E的定義如前，則

1)當λ ＞ 0時，λ∈ρ(A)，且‖(λI－A)－1‖≤

3)T(t)是正C0半群;

4)T(t)是正壓縮C0半群。

證 1)當λ ＞0時，λ∈ρ(A)且‖(λI－A)－1‖≤對任意給定的∈X，討論方程(λI－ A這等價于:

解式(2)～式(5)可得［6］

其中

再由Fubini定理可得

這說明當λ ＞0時，(λI－A)－1:X→X存在且

2)取集合 M={(p0，p1，p2，pc，p3(x)，p4(x))|pi(x)∈C∞0［0，∞)且存在一個常數Ci＞0使得pi(x)≡ 0，x∈［0，Ci］，i=3，4}，顯見 M 在 X 中稠密，因此為了證明D(A)在 X中稠密，只需證明D(A)在M中稠密即可。

令0 ＜ 2s ＜ min{c3，c4}，顯然x∈［0，2s］時有pi(x)=0(i=3，4)，令

其中

這里

易證 fs(x)∈D(A)，且

由1)，2)和Hille-Yosida定理知:A生成一C0半群，容易驗證E:X→X有界線性算子，并且由有界算子擾動定理知A+E生成一C0半群T(t)。

3)T(t)是正C0半群。由1)可知，當為非負向量時也為非負向量，這說明(λI － A)－1為正算子，同時由E的表達式可知E也是正算子;又因為

及

可知(λI－A－E)－1也為正算子，從而預解正算子A+E生成的半群T(t)是正C0半群［7］。

4)T(t)為正壓縮C0半群。假設R(I－A－E)≠X，由于R(I－A－E)是閉的［8］，那么存在0≠F∈X*，使得(Q，f)=0，?Q∈R(I－A －E);對任意∈D(A+E)有((I － A － E，f)=0;即對所有∈ D(A+E)，有，［I － (A+E)*］F)=0，即(A+E)*F=F。

也就是說，1是(A+E)*的本征值，但1顯然不是本征值，故假設不成立，因此有R(I－A－E)=X。

其中

由式(7)和彌散算子的定義知，A+E為彌散算子，結合1)，2)，3)及Phillips定理知:A+E生成正壓縮C0半群，再由半群唯一性知這個壓縮半群即是T(t)。

定理2 系統(1)存在唯一非負時間依賴解

由定理1得

‖(1，0，0，0，0，0)‖ ≤1，t∈［0，∞)

另一方面，因為(1，0，0，0，0，0)∈ D(A+E)故有∈D(A+E)，所以有Pi(·，t)，i=3，4滿足系統積分-微分方程組，且有

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