最值問題在三角函數中應用研究

李揚

摘 要：由于中學數學最值問題遍及代數、三角、立體幾何及解析幾何各數學學科之中，且與生產實際聯系密切，同時它又是進一步學習高等數學中最值問題的基礎。因此，最值問題歷來是各類考試的熱點，其中三角函數的最值問題是函數最值和幾何最值的重要組成部分，本文淺析三角函數中最值問題的應用，讓學生以及讀者對最值問題在代數及幾何問題中的解決方法有個總體的認識，并為學生以后的學習打下基礎。

關鍵詞：最值問題；三角函數；解法總結；系統分析

一、三角函數最值問題的題型歸納及解法策略

在現階段中學數學三角函數最值問題中，題目給出的三角關系式往往比較復雜，進行化簡后，再進行歸納，主要有以下6種類型。掌握這幾種類型后，幾乎所有的三角函數最值問題都可以解決。

1.y=asinx+bcosx型的函數

這樣的函數是我們經常遇到的，對于這樣的題型處理思想應該引入輔助角，化為y=sin（x+），利用函數即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化為此類，下面介紹一道實例來體會感受其中的方法。

例1 已知函數f（x）=2cosxsin（x+）-sin2x+sinxcosx

（1）求函數f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最小值及取得最小值時相應的x的值；

（3）若當x∈[，]時，f（x）的反函數為f-1（x），求f--1（1）的值.

從上面這道例題可以清晰地看出，這一類的三角函數的最值求解中運用的基本的方

法是“利用輔助角法”，將較復雜的三角式轉化成“Asin（）” 的形式，將異名三角比化歸成同名三角比。同時，也應對自變量的取值范圍要仔細地考察。

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函數

這樣的函數題型看上去很長，也很復雜，但是其中有一定的規律，通過下面這樣一個實例，你會發現它其中的玄機。處理方式是降冪，再化為“Asin（）”的形式來解。

例2 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值時的x的集合。

3.y=asin2x+bcosx+c型的函數

在三角函數的題型中，這題型是比較常見的，經常和其它函數一起應用，特別是出現在“存在”問題中，對于這類題型的處理方式是應用sin2x+cos2x=1，使函數式只含有一種三角函數，再應用換元法，轉化成二次函數來求解。下面通過一道例題來體會這方法。

例3 是否存在實數a，使得函數y=sin2x+a·cosx+a-在閉區間[0，]上的最大值是1？若存在，求出對應的a值；若不存在，試說明理由.

分析：

這道題就是利用在閉區間上求二次函數最值的方法，只是其自變量變為cosx。值得注意的是在運用這個方法前，首先要將引用三角比之間的轉換使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比視為二次函數的自變量。在題目條件沒有給你限制條件時，任何一種那個情況都應該作分類討論，當然要結合已有的法則和三角函數相關的公式，及三角函數隱藏的條件，這樣才能做到解題全面。

綜合上述知，存在符合題設。

4. y=型的函數

這是一個分數形式的求三角函數最值的題型，往往出現在需要轉化思想的綜合題目中，下面介紹這個例題，讓同學有直觀感覺。

例4求函數y=的最大值和最小值。

對于這一類題型，分子、分母只有常數項不同的三角函數式，便可以在分子中添置輔助項后，通過恒等變形把它化成只有分母含有自變量的三角函數式，只需研究分母的最值，就能求出原函數的最值。在這樣的變形中若遇到要把分子“翻下去”作為繁分式分母一部分時，這個“翻下去”的式子不能為零，如果這個式子可能為零，則應將為零的情況另作處理。“設其不為零的”情況下繼續解下去，最后把各種情況下求得的值綜合起來考慮最值。

5.y=sinxcos2x型的函數

這樣的三角函數題型有一定的難度，并且有的題目角和函數很難統一，還會出現次數太高的問題，這是關于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。在高中數學中涉及三次函數的最值問題，幾乎都用均值不等式來求解。但需要注意是否符合應用的條件及等號是否能取得。下面介紹一個實例來體會均值不等式的方法。

例5 在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點到光源的距離 r的平方成反比，即I=k·，其中 k是一個和燈光強度有關的常數，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？

6.含有sinx與cosx的和與積型的函數式

在這樣混合的函數式中，也是經常會遇到的，對于含有sinx±cosx，sinxcosx的函數的最值問題，常用的方法是令sinx±cosx=t，，將sinxcosx轉化為t的函數關系式，從而化為二次函數的最值問題。通過下面這個例題了解這樣的方法。

例6 求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

例7 求函數y=cos（sinx）的值域

結合如圖1 所示：y=cos（sinx）的圖像，知cos1=cos（-1）<1，cos0=1

例8 如圖2：ABCD是一塊邊長為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為90米的扇形小山，P是弧TS上一點，其余部分都是平地，現一開發商想在平地上建造一個有邊落在BC與CD上的長方形停車場PQCR，求長方形停車場的最大值與最小值。

解：如圖2，連結AP，設，延長RP交AB于M，

則，，故矩形PQCR的面積

設，

，故當時，

當時，

例9 如圖3所示，一個摩天輪半徑為10米，輪子的底部在地面上2米處，如果此摩天輪每20秒轉一圈，且當摩天輪上某人經過點P處（點P與摩天輪中心O高度相同）時開始計時，

（1） 求此人相對于地面的高度關于時間的函數關系式；

（2） 在摩天輪轉動的一圈內，有多長時間此人相對于地面的高度不超過10米。

解：（1）以O為坐標原點，以OP所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設摩天輪上某人在Q處，則在t秒內OQ轉過的角為，所以t秒時，Q點的縱坐標為，故在t秒時此人相對于地面的高度為（米）

（2）令，則

Fig 2-4 Example 9 here

二、對三角函數最值問題的小結

1.求三角函數最值的常用方法有：

（1）配方法（主要利用二次函數理論及三角函數的有界性）；

（2）化同角函數法（主要利用和差角公式及三角函數的有界性）；

（3）數形結合法（常用到直線的斜率關系）；

（4）換元法（如萬能公式，將三角問題轉化為代數問題）；

（5）基本不等式法等（主要遇到三次式之類的情如運用均值不等式等）；

（6）降冪法（主要利用三角函數的基本公式和定義）。

2.三角函數的最值都是在給定區間上取得的，因而特別要注意題設所給出的區間：

（1）求三角函數最值時，一般要進行一些代數變換和三角變換，要注意函數有意義的條件及弦函數的有界性。

（2）含參數函數的最值問題，要注意參數的作用和影響。

（3）在涉及到綜合實際生產并運用基本不等式法解最值問題時，需要注意所得結果是否符合實際情況及等號是否取得到。

3.如“表1求解三角函數最值的常用方法”是個人對以上題型及解法的總結。

表1 求解三角函數最值的常用方法

參考文獻：

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