初中規律性問題解法談

鐘蒙川

【摘 要】在初中數學的學習中，我們會遇到許多具有規律性的問題，這些問題采用什么樣的解法才能更容易的解答，是我們研究的重點與難點。為了幫助大家更好的理解和解決規律性問題，本文在結合自身教學經驗的基礎上，通過對初中數學規律性問題的分類，探索其中的解題方法。

【關鍵詞】初中數學;規律;解法

初中規律性問題多數指的是高中的數列問題。高中學生對數列都感到頭疼，更別說初中學生了。以下我就其特點歸納為幾種常見的類型并以求某一項為例談談求解方法。

（1）等差型

等差型是指數據從第二個數（項）起，每一個數（項）與它前面的數（項）的差等于一個常數，故為等差型（或等差數列），等差型的每一個數（項）都可以寫成這個常數的倍數的加減。

例1、某餐廳中，一張桌子可坐6人，有以下兩種擺放方式：當有n張桌子時，兩種擺法各坐多少人？

分析：數字化后第一種的數據為：6，10，14，……屬等差型，常數為4，則可得4n+2。

第二種的數據為：6，8，10，……屬等差型，常數為2，則可得2n+4。

（2）等比型

等比型是指數據從第二個數（項）起，每一個數（項）與它前面的數（項）的比等于一個常數，故為等比型（或等比數列），等比型的每一項都可以寫成這個常數的乘方的乘積。

例2、如圖是一幅“蘋果排列圖”，第一行有1個蘋果，第二行有2個，第三行有4個，第四行有8個，…第n行有_____個蘋果。

分析：數字化得數據：1，2，4，8，……

顯然是等比型，常數為2，

則可得第n項為2n-1。

（3）乘方型

乘方型一般數據都是平方數。若以圖形出現，要求學生對圖形進行觀察分析，將規律數字化后，進行合理的分析就可以得到。

例3、已知下列一組數：1，，，，……;用代數式表示第n個數，則第n個數是________。

分析：從分子看是連續奇數（等差型常數為2），分母則為平方數，則第n項為。

（4）周期型

周期型的數據常常是要通過計算方可得出數據，數字化后，數據每隔一定的數字后數據就循環，這些數字的個數就是周期，再利用周期分析就可以得到。

例4、如圖，給正五邊形的頂點依次編號為1，2，3，4，5。若從某一頂點開始，沿正五邊形的邊順時針行走，頂點編號的數字是幾，就走幾個邊長，則稱這種走法為一次“移位”如：小宇在編號為3的頂點時，那么他應走3個邊長，即從3→4→5→1為第一次“移位”，這時他到達編號為1的頂點;然后從1→2為第二次“移位”。若小宇從編號為2的頂點開始，第10次“移位”后，則他所處頂點的編號是____________。

分析：結合題意數字化得：4，3，1，2，4，3，……

觀察知道周期是4，第10次位移是兩個周期后又兩次位移，則為3。

（5）裂變型

若將規律數字化后按照以上幾種類型均無法解決，就可以考慮對數據進行裂變（拆分），然后對裂變所得數據再分析。一次裂變不行可再進行第二次裂變。一般裂變為和差形式或積的形式的題型較多。

例5、如圖，用圍棋子按下面的規律擺圖形，則擺第n個圖形需要圍棋子的枚數為_____。

分析：此題無論從圖或數字化后觀看都可以看出只需將每項減去1，就變成乘方型。

數字化后為：2，5，10，17，……，裂變為1+1，4+1，9+1，16+1，……

則答案為n2+1。

（6）復合型

復合型數據中融合了幾種類型的數據。復合型一般常以分式或等式形式出現，因此既要考慮分子又考慮分母或既要尋找等號左邊的規律又要尋找等號右邊的規律。

例6、觀察下列等式：

第一行 ? 3=4-1

第二行 ? 5=9-4

第三行 ? 7=16-9

… ? ? …

按照上述規律，第n行的等式為______。

分析：等號左邊是等差型，常數為2，第n項為2n+1，等號右邊是兩個乘方型，第n項為（n+1）2-n2。故第n項為2n+1=（n+1）2-n2。

總之，規律性問題的求解的關鍵是找出他們內在的變化規律，然后結合其所屬類型進行猜想，對猜想的結果再進行驗證，從而得出答案。事實上我們把握了每一項的變化特點，解起來就方便多了也就不會頭疼了。

【參考文獻】

[1]房延華.探索規律性問題解析[J].數學探索.2004（10）

[2]周銀.例說規律性問題[J].初中數學教與學.2010（23）

（作者單位：四川省達州市達川區城南學校）